当前位置:首页 > 行业资料 > 酒店餐饮 > 武汉大学电动力学-刘觉平第6章习题答案
第六章似稳场目录:习题6.5......................................................................................................1习题6.51试由导体内场的扩散方程及Ohm定律证明:处于交变场中的导体内的电流密度j满足方程2μσ0jj证明:导体内的扩散方程2μσ0EE,Ohm定律:cjE将Ohm定律代入扩散方程,得:2//0ccjj即:2μσ0jj2一半径为a,电导率为σc,磁导率为μ的无限长金属圆柱体置于一半径b的无限长螺线管中,柱轴与管轴重合。当螺线管(其每单位长度上的匝数为n)通以电流0exp(ω)IIit时,求(1)空间中的电磁场分布;(2)导体中的电流分布;(3)导体单位长度上每单位时间放出的热量Q。解:(1)因为螺线管和金属圆柱体都是无限长的,圆柱体外,螺线管内的磁场是均匀的,以管轴为z轴的柱坐标系中00,ffHjHdldsjHnI所以0(ρ)HbaH圆柱体内的磁场满足零阶Bessel方程2221()(ρ)0ρρρzddkHdd其中2cμσωki解得000(ρ)(ρ)()JkHaHJka,(ρ)0Hb因此螺线管内的磁场分布(ρ)exp(ω)zHeHit00000,ρ(ρ)(ρ),ρ(),ρbJkHHaJkaHab再利用公式Φ1δωμiHeE,其中2δωμσ记Φ(ρ)exp(ω)EeEit22010001002201000()ωμ(),ρσ()ρ2ρ(ρ)(ρ),ρσ()()ωμ(ρ),ρσ()ρ2ρcccHJkakaHibabJkaJkkEHaJkaHJkakaHiaabJka(2)由Ohm定律σfcjE,在导电圆柱体内,即ρab导体内的电流分布,1Φ00(ρ)σexp(ω)()fcJkjEekHitJka(3)在稳恒场中的焦耳定律2QIRt,对于交变场也适用,则导体单位长度的电阻就是其电导率的倒数1σc,所以导体单位长度单位时间放出的热量2QIR又有金属圆柱体中的电流σfIdj,σfcjE,再将(2)中的电场E的分布代入式中2[σ][σ(σ)]σσfcccdjdEQ222010π()Re()σ()canIkJkaJka其中2cμσωki3一半径为a,电导率为σc,磁导率为μ的无限长金属圆柱体置于一恒定的均匀外磁场0B中,外磁场的方向与金属圆柱体的轴ze平行。试求除去外磁场后金属圆柱体内的电磁场随时间变化的规律。解:因为金属圆柱体是无限长的,根据对称性,建立一金属圆柱体柱轴为z轴的柱坐标系。解:金属圆柱体内的磁场可写成(ρ,)(ρ,)exp(ω)zHteHtit金属圆柱体内的磁场满足零阶Bessel方程21[(ρ)](ρ,)0ρρρddkHtdd而且金属圆柱体中的外磁场00BtB上述的Bessel方程满足下列条件初始条件:00(ρ,)|μtBHt边界条件:ρ(ρ,)|0aHt解得2(ρ,)(ρ)exp(/)zmmmmcmHteCJkkt式中,mmxka是0()0Jx从小到大排列的第m个零点002μ()mmBCJka又μBH所以除去外场后金属圆柱体内的磁感强度分布为2m(ρ,)μC()exp(/)zmmmcmBteJkakt4.一半径为a,电导率为c,磁导率为的金属球置于一均匀的变化频率较低(即/ca)的磁场0exp()BBit中。求金属球内的Foucault电流分布与球的吸收功率(精确到一级近似)。解:因为()0BMH,则0HM(金属球内和球外)因而可令球内外磁标势分别为1()mt和2()mt,同时令H和B是金属球内的磁场强度和磁感应强度,以0B的方向为极轴z的方向建立球坐标系。磁标势在球坐标系中满足方程20m,当ra时与边界条件10mr有限,2cosmrHr12mmrara,120mmrararr(00()itBHte)取金属球外的磁标势2m的试解为222coscos,mbHrrar球内试解为11cos,mbrra球面上的边界条件化为212abHaba,31022bHba对系数1b,2b,解之得01032bH30202bHa所以金属球内的磁场强度000100003333cos2222mHHHrzHB032BHB由EBt和Ohm定律,可知1cjiB即032cjiB故032cxjixB而3002xjjxjxjxjxjjIj上面一步推导显然是错误的。所以金属球内的Foucault电流分布为0322cijxB关于此电流分布满足BEt证明:0003/22322322ciEjxBiExBiExBBxxBBx由似稳方程0B,又B与坐标无关,所以0B所以03222iEB但是Hj显然不满足又由焦耳定律21VcNjd,可知金属球内的瞬时吸收功率为222222220000222243200002225222522009sinsin429sin42986453252acacccNBrrdrddBrdrddBaBa所以金属球内的吸收功率为2225222502200635252ccBaBaNN5.一半径为a的各向同性的导体球置于一均匀的周期性变化的外磁场中。求该导体球的磁化率。解:由第4题结论0322cijxB因为交变磁场中,导体的磁矩由导体内的传导电流产生,031()242cVVimxjdvxxBdv又2()cosxxBBxxBxxBrBrx由x对称性和y的对称性知,积分结果只与z分量有关205222430003(cos)423338(cos)sin42424215czzVcccVVimeBrBrxedviiiaBrBrdvBrdrddB同样,可以计算得到ˆˆ0,0yxmeme(体现在方位角)34/()3Mma203,210czaiBeB与同方向22220311/exp()21010552ccMaaaaiBHiiiH6.在超导体中,电阻为零,电荷为e,质量为m的传导电子的运动方程为mreE。设单位体积中电子的数目为N。(1)证明(London第一方程)2sNejEm(2)若超导体可视为一各向同性的线性均匀介质,且其内部不存在稳恒场,证明(London第二方程)2sNejBm(3)若有一半无穷超导体,试证外场仅能透入数量级为:2/()LmNe的深处,这里,L为London穿透深度,而是其磁导率。证明:(1)sjNeuNermreE2()seENejNerNeEmm(2)22ssjNeNeBjEttmmt由于2constantsNejBm但是当导体内无没有任何电磁场时,可知该常数应为0故2sNejBm(3)由麦克斯韦方程组第四式sHj得sHj()即222)NeNeHHBHmm(即22mHHNe设H的方向与平面z=0平行,且H方向沿x轴。Z0为超导体。由对称性知xH只是z的函数。满足扩散方程为222()()0xdNeHzdzm边界条件为0(0)xHH()|0xzHz其解的形式为0()exp()xHzHpz代入扩散方程得22Nepm即2Nepm(根号前不能取负号否则与无穷远处边界条件矛盾)故有20()exp()xNeHzHzm令10()xHzHe得2mzNe由London穿透深度L的定义,可知2/LmNe()
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