第五章风险度量方差模型第二节

第五章风险度量第二节证券投资风险模型－－方差模型马科维茨(Markowitz)投资组合理论★基本假设1.投资者认为，每一项可供选择的投资在一定持有期内都存在预期收益率的概率分布。2.投资者都追求单一时期的预期效用最大化，而且他们的效用曲线表明财富的边际效用呈递减的趋势。3.投资者根据预期收益率的波动率，估计投资组合的风险。4.投资者根据预期收益率和风险做出决策，他们的效用曲线只是预期收益率和预期收益率方差的函数。一、实际收益率与风险的衡量●实际收益率（历史收益率）是投资者在一定期间实现的收益率.ⅰ.离散型股票投资收益率ⅱ.连续型股票投资收益率11)(tttttPDPPr1lnttttPDPr连续型股票投资收益率比离散型股票投资收益率要小，但一般差别不大.见【表1】（一）持有期收益率nrrnjjAM/11-)]r+(1)r+)(1r+[(11/nn21GMr收益率数据系列r1，r2，…，rn（n为序列观测值的数目）2.几何平均收益率()GMr1.算术平均收益率()AMr【例1】浦发银行(600000)2004年12月至2005年12月各月收盘价、收益率如表1所示。表1浦发银行收盘价与收益率(2004年12月至2005年12月)2.35%算术平均值(月)4.38%25.80%28.25%合计0.00%0.49%2.80%2.84%9.062005-12-10.01%1.05%3.35%3.40%8.812005-11-10.00%0.30%2.62%2.65%8.522005-10-10.20%-4.47%-2.15%-2.12%8.302005-9-10.00%-0.67%1.66%1.68%8.482005-8-10.44%6.67%8.64%9.02%8.342005-7-11.40%11.83%13.26%14.18%7.652005-6-10.48%-6.91%-4.67%-4.56%6.702005-5-10.01%-0.90%1.43%1.45%7.022005-4-11.68%-12.94%-11.20%-10.59%6.922005-3-10.07%2.67%4.90%5.02%7.742005-2-10.09%2.94%5.15%5.29%7.372005-1-17.002004-12-1连续型离散型收益率（ri）调整后收盘价（元）日期AMirr2AMirr（二）投资风险的衡量—方差和标准差＊计算公式：＊方差和标准差都是测量收益率围绕其平均值变化的程度样本总体方差njjxrrnrVARP1221)(样本方差njjxrrnrVAR12211)(样本总体标准差VARPrSTDEVPx)(样本标准差VARrSTDEVx)(Variance—方差Standarddeviation—标准差Correlationcoefficient—相关系数Normaldistribution—正态分布Arithmeticmean—算术平均数Gmean—几何平均数%04.6%365.0)(月RSTDEVP【例】承【例1】根据表1的数据，计算浦发银行收益率方差和标准差。%365.012/0438.0)(2月RVARP解析%93.20120604.0)(RSTDEVP年（三）正态分布和标准差%93.20年正态分布的密度函数是对称的，并呈钟形1.正态分布曲线的特征%25.28AMr在正态分布情况下，收益率围绕其平均数左右1个标准差区域内波动的概率为68.26%；收益率围绕其平均数左右2个标准差区域内波动的概率为95.44%；收益率围绕其平均数左右3个标准差区域内波动的概率为99.73%。A.根据正态分布可知，收益率大于28.25%的概率为50%B.计算0～28.25%的面积？解答XZ标准化正态变量Z的计算公式：【例】承【例1】假设表1收益率为正态分布的随机变量，收益率平均值为28.25%，标准差为20.93%。要求：计算股票收益率大于零的概率。2.正态分布曲线的面积表应用※0~28.25%的面积计算：公司盈利的概率：P(r＞0)=41.15%+50%=91.15%公司亏损的概率：P(r≤0)=1-91.15%=8.85%查正态曲线面积表可知，Z=1.35时，收益率在0~28.25%之间的概率为41.15%。35.1%93.20%25.280Z该区间包含标准差的个数为：【例】承前例，计算浦发银行股票收益小于零的概率。=NORMDIST(0,28.25%,20.93%,TRUE)回车后即可得到浦发银行股票收益小于零的概率为8.86%3.正态分布函数——NORMDIST◎功能：返回指定平均值和标准偏差◎应用：NORMDIST(x,mean,standard_dev,cumulative)X：需要计算其分布的数值；Mean：分布的算术平均值；standard_dev：分布的标准偏差；cumulative：一逻辑值，指明函数的形式。如果cumulative为TRUE，函数NORMDIST返回累积分布函数；如果为FALSE，返回概率密度函数。Excel计算二、预期收益与风险的衡量（1）根据某项资产收益的历史数据的样本均值作为估计数假设条件：该种资产未来收益的变化服从其历史上实际收益的大致概率分布（2）根据未来影响收益的各种可能结果及其概率分布大小估计预期收益率预期收益率的估计方法（一）单项资产预期收益与风险1.预期收益率的衡量●各种可能情况下收益率（ri）的加权平均数.权数为各种可能结果出现的概率（Pi）niiiPrrE1)(niiiPrEr122)(方差niiiPrEr12)(标准差2.风险的衡量（1）方差（σ2）和标准差（σ）●方差和标准差都可以衡量预期收益的风险.●方差和标准差都是从绝对量的角度衡量风险的大小，方差和标准差越大，风险也越大。●适用于预期收益相同的决策方案风险程度的比较.（2）标准离差率（CV）●标准离差率是指标准差与预期收益率的比率●标准离差率是从相对量的角度衡量风险的大小●适用于比较预期收益不同方案的风险程度●计算公式：)(rECV（二）投资组合预期收益与风险1.投资组合的预期收益率●投资组合中单项资产预期收益率的加权平均数。权数是单项资产在总投资价值中所占的比重●计算公式：niiiprEwrE1)()(2.投资组合方差和标准差投资组合的方差是各种资产收益方差的加权平均数，加上各种资产收益的协方差。两项资产投资组合（1）两项资产投资组合预期收益率的方差),(22121222221212rrCOV21,WW2221,表示资产1和资产2在投资组合总体中所占的比重；表示组合中两种资产各自的预期收益率的方差；COV（r1，r2）表示两种资产预期收益率的协方差。◆协方差是两个变量（资产收益率）离差之积的预期值。其中：[r1i－E(r1)]表示证券1的收益率在经济状态i下对其预期值的离差；[r2i－E(r2)]表示证券2的收益率在经济状态i下对其预期值的离差；Pi表示在经济状态i下发生的概率。iniiiPrErrErrrCOV1221121)()(),(niiirErrErnrrCOV1221121)()(1),(或：（2）协方差COV（r1，r2）◆当COV（r1，r2）＞0时，表明两种证券预期收益率变动方向相同；当COV（r1，r2）＜0时，表明两种证券预期收益率变动方向相反；当COV（r1，r2）＝0时，表明两种证券预期收益率变动不相关。一般来说，两种证券的不确定性越大，其标准差和协方差也越大；反之亦然。请看例题分析【例】表4列出的四种证券收益率的概率分布表4四种证券预期收益率概率分布概率预期收益率分布（%）ABCD0.10.20.40.20.110.010.010.010.010.06.08.010.012.014.014.012.010.08.06.02.06.09.015.020.0预期收益率标准差10.00.010.02.210.02.210.05.08.41.010610142.010810124.0101010102.010121081.01014106),(CBrrCOV◆相关系数是用来描述投资组合中各种资产收益率变化的数量关系，即一种资产的收益率发生变化时，另一种资产的收益率将如何变化。（3）相关系数（ρ）212112),(rrCOV◆相关系数与协方差之间的关系：211221),(rrCOV协方差和相关系数都是反映两个随机变量相关程度的指标，但反映的角度不同：协方差是度量两个变量相互关系的绝对值。相关系数是度量两个变量相互关系的相对数。12当＝﹢1时，表明两种资产之间完全正相关；当＝-1时，表明两种资产之间完全负相关；当＝0时，表明两种资产之间不相关。1212◆相关系数是标准化的协方差，其取值范围（﹣1，﹢1）图3证券A和证券B收益率的相关性【例2】根据浦发银行（600000）和上海石化（600688）两家公司2005年各月已按派息和拆股调整后的收盘价计算的月收益率均值、协方差、相关系数见表3。函数应用见【表3】1.协方差的计算函数:COVAR(Arrayl,Array2)2.相关系数的计算函数:CORREL(Arrayl,Array2)Excel计算表3浦发银行和上海石化月收益率、标准差（2004年12月至2005年12月）图4浦发银行和上海石化月收益率的时间序列（2005年）-20%-15%-10%-5%0%5%10%15%20%024681012月收益率(%)浦发银行上海石化【例】承【例2】假设某投资组合中包括50%的浦发银行股和50%的上海石化股。要求：计算这一投资组合的预期收益率和标准差。%95.0%500046.0%500236.0)(rE%0.70049.000211.05.05.021083.05.00604.05.02/12/12222,BA月收益率：月标准差：解析%4.1112%95.0年收益率%3.24120049.02/1年标准差N项资产投资组合N项资产投资组合预期收益的方差ji，rrCOV)(111222各种资产的方差，反映了它们各自的风险状况各种资产之间的协方差，反映了它们之间的相互关系和共同风险当投资组合由N种资产时，组合总体的方差由N个方差和N（N－1）个协方差组成。【证明】假设投资组合中包含了N种资产（1）每种资产在投资组合总体中所占的份额都相等(wi=1/N)；（2）每种资产的方差都等于σ2，并以COV(ri，rj)代表平均的协方差。ji，rrCOV)(111222)(111)(111)(1122221121222jijijininjniP，rrCOVNN，rrCOVNNNNNji，rrCOVNN当N→∞时0各资产之间的平均协方差%18%1054%50512p【例】假设资产的平均收益方差为50%，任何两项资产的平均协方差为10%。5项资产投资组合的方差为：10项资产投资组合的方差为：%14%10109%501012p图5投资组合方差和投资组合中的样本数0%5%10%15%20%25%30%35%40%45%50%012345678910152025投资组合样本数投资组合方差总风险非系统风险系统风险二、两项资产投资组合的有效边界【例3】假设某投资组合有X和Y(Y1,Y2,Y