极限的求法总结

极限的求法总结简介：求极限方法举例，列举21种求极限的方法和相关问题1.代入法求极限221.lim(2)xxx例01012.()...,lim().nnnnnxxPxaxaxaPx例设有多项式求nnxxnxxnxxaxaxaxP110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa10100).(0xPn多项式函数与分式函数(分母不为0)用代入法求极限;方法总结：221563.lim32xxxx例商的法则(代入法)2.由无穷大量和无穷小量的关系求极限2141lim.23xxxx例求解0)32(lim21xxx商的法则不能用)14(lim1xx又,031432lim21xxxx.030由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21xxxx解例4.321lim221xxxx求.,,1分母的极限都是零分子时x.1后再求极限因子先约去不为零的无穷小x)1)(3()1)(1(lim321lim1221xxxxxxxxx31lim1xxx.21)00(型(消去零因子法)3.消去零因子法)00(型例.147532lim2323xxxxx求解.,,分母的极限都是无穷大分子时x)(型.,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx.72(无穷小因子分出法)4.无穷小因子分出法求极限小结:为非负整数时有和当nmba,0,000无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小量,然后再求极限.,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxammmnnnx当当当.84152lim221xxxxx求练习1221lim.nnnn求练习2503020)12()23()32(limxxxx练习347882(21)(1)lim(1)xxxx162)1()1()2(lim48218278178414xxxxxxx练习4例).21(lim222nnnnn求解．是无限多个无穷小之和时,n222221lim)21(limnnnnnnnn2)1(21limnnnn)11(21limnn.21先变形再求极限.5.先变形再求极限(利用求和化简，拆项技巧，合并化简等)2111lim(...)133541nn例2111lim(...)133541111111lim(1...)23352121111lim(1)2212nnnnnnn211111:()41(21)(21)22121nnnnn拆项2112lim()11xxx例222112111212lim()lim()1111111limlim112xxxxxxxxxxxx对于求无穷多项的极限和不符合四则运算的极限，先通过变形在求极限;方法总结：2005年数学三考研试题（第三大题15小题8分）011(15)lim().1xxxex例.sinlimxxx求解,1,为无穷小时当xx.sin是有界函数而x.0sinlimxxxxxysin6.利用无穷小运算性质求极限201limsin.xxx练习1.求1limsin.xxx练习2.求01limsin.xxx练习3.求1limsin.xxx练习4.求0sinlim.xxx练习5.求例).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx求设yox1xy112xy解两个单侧极限为是函数的分段点,0x)1(lim)(lim00xxfxx,1)1(lim)(lim200xxfxx,1左右极限存在且相等,.1)(lim0xfx故7.利用左右极限求分段函数极限例求极限22lim(31)xxx8.分子（母）有理化求极限【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。2222222222(31)(31)lim(31)lim312lim031xxxxxxxxxxxxx220+42lim.+93xxx例求(分子分母有理化消去零因子)222222220022220+42(+42)(+42)(+93)limlim+93(+42)(+93)(+93)(+93)3lim2(+42)xxxxxxxxxxxxxxx9.利用夹逼准则（两边夹法）则求极限说明：两边夹法则需要放大和缩小不等式，常用的方法是都换成最大的和最小的。例).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼定理得.1)12111(lim222nnnnn说明：这种n项和的极限有时也可以转化为定积分来计算，这道题是不可以的。01x33sin01sinnnxxxx33111sin10,0001sin11nnnxxxdxxdxxnn1lim0lim01xxn331sinlim001sinnxxxdxx解：当时，（积分不容易计算）故因为所以331sinlim01sinnnxxdxx例10.用等价无穷小量代换求极限2:(1)~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1;(2)1cos~;2(3)1~;(4)ln(1)~;0(5)1~ln;(6)(1)1~.xxxxxxxxxexxexxxaxxxxa当常用的等时:价无穷小量0ln(1)lim1cosxxxx002ln(1)limlim211cos2xxxxxxxx例：求极限解20(1)ln(1)1.lim1cosxxexx201sin12.lim1cosxxxx30tansin3.limxxxx练习：2005年数学三考研试题(第一大题填空题第1小题4分)22(1)limsin.1xxxx2009年数学三考研试题(第二大题填空题第9小题4分)cos320(9)lim.11xxeex2008年数学三考研试题(第三大题第15题10分)201sin(15)limln.xxxx11.应用两个重要极限求极限0sinlim1xxx1011lim(1)lim(1)lim(1)xnxxnxxexn两个重要极限是和第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限例：求极限1lim1xxxx【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1X，最后凑指数部分。解2121221212limlim1lim1111112xxxxxxxexxxx例.)11(limxxx求解xxx)11(1lim1])11[(limxxx原式.1e21lim1xxx2lim8xxxaxaa练习12，求2012年数学三考研试题(第二答题填空题第9小题)1cossin4lim(tan)xxxx9.12.应用数列的单调有界收敛准则求极限0a10x112nnnaxxx(1,2,3,)n例设，，limnnxlim.nnx（1）证明存在；（2）求【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在。解:(1)1102nnnnnnaaxxxaxaxx即{}nx有下界，由此得211()022nnnnnnnaxaxxxxxxnxlimnxx既单调下降，因此存在。limnxx0a12()2a.a（2）设，由（1）对递推公式两端取极限，得解得（舍去负值），所以13.用对数恒等式求极限()lim()gxfx例：求极限20lim[1ln(1)]xxx解法1:00222ln[1ln(1)]ln[1ln(1)]lim002ln(1)lim2lim[1ln(1)]lim.xxxxxxxxxxxxeeee12ln(1)2ln(1)00lim[1ln(1)]lim[1ln(1)]xxxxxxxx012ln(1)12ln(1)lim2ln(1)ln(1)00lim[1ln(1)]lim{[1ln(1)]}xxxxxxxxxxxe解法2:原式解法3:000222ln(1)lim(1ln(1)1)lim02lim2lim[1ln(1)].xxxxxxxxxxxxeeee1()lim()gxfx注1：对于型未定式的极限，也可用公式()lim(()1)()lim()(1)gxfxgxfxe因为()lim()ln(())lim()ln(1()1)lim(()1)()lim()gxgxfxgxfxfxgxfxeee()lim()gxfx注2：对于型未定式的极限也可以利用第1二个重要极限。例：求极限3012coslim13xxxx2cosln332002cosln13limlimxxxxxexx2001(sin)ln(2cos)ln32coslimlim2xxxxxxx011sin1lim22cos6xxxx解法1:原式2cosln332002cosln13limlimxxxxxexx2200cos1ln(1)cos113limlim36xxxxxx解法2:原式2011年数学一考研试题(第三答题解答题第15题10分)110ln(1)15.lim().xexxx2013年数学二考研试题(第二答题填空题第9小题)200000ln(1)1ln(1)1limlim(21)0111111limlimlim2(1)222ln(1)9.lim[2].xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxeexeeee10ln(1)9.lim[2]xxxx14.将数列极限转化成函数极限求解【说明】这是1洛必达法则，若直接求解有一定难度，若转化成函数极限，可通过13提供的方法结合洛必达法则求解。例：求极限21limsinnnnn形式的极限，由于数列极限不能使用2221111sin1sin1601lim(sin)limlimyxxyxyxxxyxeeex2161limsinnnnen【解】考虑辅助极限所以根据:《数学分析》里面的归结原则，又称为海涅定理，意思就是函数极限可以用数列极限刻画。15.求极限式中的常数2121.lim,,1xxaxbabx例设试确定,并求此极限。2010年数学三考研试题(第三答题解答题第1题4分)0111.lim(())1,_____.()0()1()