(三)偏微分方程的数值离散方法

1（三）偏微分方程的数值离散方法•3.1有限差分法•3.2有限体积法•(有限元，谱方法，谱元，无网格，有限解析，边界元，特征线）23.1有限差分法•3.1.1模型方程的差分逼近•3.1.2差分格式的构造•3.1.3差分方程的修正方程•3.1.4差分方法的理论基础•3.1.5守恒型差分格式•3.1.6偏微分方程的全离散方法33.1.1模型方程的差分逼近43.1.2差分格式的构造53.1.3差分方程的修正方程•差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程•对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。•Warming-Hyett方法：•差分方程(2)写成算子的形式：(3)24121616121)2()1()1(!31!21)1(!31!21Taylor(2)22121(1)04422233233222133322213332221112111xuxutcxuxxuctuttuttuueuuexuxxuxxuxuuuetuttuttutuuuuuuuuuxuctuxxjxxjjttnjnjjjjjjnjnj等价于：展开63.1.3差分方程的修正方程(续)12220121212112332114444444333344433322223332222(5)22121183,31,21,1,1)1()1(211)1(21216122121)1(!31!21)1((4)u221)(21)1(ppppppppkkkkllxxxxxxxxllttlllttllttttttttttxxxxxxxxttxuxuxutueeeebebttbbbbebttetttutetuttutetuttuttutetuttuttuteeeueeue即有最后得到的级数表示成可以将则记算子73.1.3差分方程的修正方程(续)?(2)schemefor1CFLwhy.min)3(81)(61,020)1(:,0)1()1()1(22224222321221212012212)(122201212121稳定性判别条件符合，）：对于（满足偶次项系数件是格式稳定的充分必要条基本解为HyettgWarxtctcxtccckkkkeexuxuxutuppppppppppppppikxtippppppppkkkk83.1.4差分方法的理论基础•相容性，稳定性，收敛性•等价性定理•Fourier稳定性分析93.1.4差分方法的理论基础（续）•Fourier(VonNeumann)稳定性分析(1)0,0)(111cuuxctuunininini1Gfactorionamplificat)()(:)1(111111111nnikxnikxnikxnikxnninininikxnniikxnniikxnniAAGeAeAeAeAuuuueAueAueAuxtciiiiiii满足稳定性要求的代入误差的基本解设103.1.4差分方法的理论基础（续）•Fourier(VonNeumann)稳定性分（续）•称为CFL条件(Courant,Friedrichs,Levy)111,2sin)1(41sin)cos1(1sin)cos1(1)sin(cos1122222ifGxkxkxkGxkixkxkixkeGxik113.1.5守恒型差分格式•流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：•定义01diixtfu)(),,(~:f~),,,(~~2f~~~0)(,212121212111ufuuufuuufflffxtuuxuftunljnljnljnjnjnjnjnjnj满足相容性条件个变量的多变量函数：称为数值通量，它是其中则为守恒型差分格式。下形式其差分格式如果具有如对于一维单个守恒律：123.1.5守恒型差分格式（续）•守恒性质：•非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。0)),((),(),(),()0,(),(~~:~~:2/12/1112/12/102102110210210121211dttxufdxtxudttxudttxudxxudxtxutftfxuxuntftfxuxujJJnnJJxxtJtJxxnNkkJNkkJJjJjjJjJjnjnJnJJjJjnjJjJjnj守恒律：律。完全对应于连续的该积分代表离散的守恒可以看成是积分求和再对求和守恒型差分格式对133.1.5守恒型差分格式（续）•守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理：如果守恒型差分格式是和守恒律相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。用途:(加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用例如：Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，MacCormack格式0)(xuftunjnjnjnjffxtuu212111~~143.1.6偏微分方程的全离散方法•对差分格式的一般要求：–有精度、格式稳定、求解效率高•特殊要求–物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性(正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等)•主要指非定常方程的时间离散153.1.6偏微分方程的全离散方法(续）•两层格式–Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack格式–Runge-Kutta方法–时空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法•多层格式–Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三点隐格式163.1.6.1两层格式•Crank-Nicolson格式•Predictor-Corrector格式•Lax-Wendroff格式•MacCormack格式•Runge-Kutta方法stablenalunconditio)(4440)(40)(2011111111111111111nnninininininininininininininnniniBAuBuuuuuuuuuuxctuuxuxuctuuxuctu173.1.6.1两层格式(cont.）•Lax-Wendroff格式一步LW格式xtcxtOuuuuuuuxuctuninininininini其中),(),2(2)(202211211111)1(cossin1)2(2)(21:2121GxkxkiAAGeeeeAAFouriernnxikxikxikxiknn稳定性183.1.6.1两层格式(cont.）•Lax-Wendroff格式两步LW格式常系数Jacobian时与单步LW等价。但计算更简单，不涉及矩阵相乘。1),,(,0)(10)(12/2/)(022212121211112121xtOffxtuuffxtuuuxftuninininininininini193.1.6.1两层格式(cont.）•MacCormack格式(1969)两步格式比LW更简单，不需要计算函数在半点上的值。LW两步格式和MC各式的缺点：定常解的误差依赖于时间步长。1),,(0)(1)(21:0)(1:022*1**11*xtcxtOffxtuuuCffxtuuPxftuiiinininininii20MacCormack格式的构造)(1)(1)(21)()(exp.Taylor)(210:0:0*1**1*1**1*1****1*iinininnavavnininniinininFFxtUFFxtUtUtUtUttUUUUUUxFFtUUCxFFtUUPxFtU213.1.6.2三层格式•Leap-Frog格式•Adams-Bashforth格式)()()()((12)()())((2)()(2)(3123232221tOtOufufttuftutOufttuftutOtuttutuuuftunnnnnnnnn)()(21)(23211tOufuftuunnnn22第二课后阅读提示•傅德薰《计算流体力学》，3.1–3.3•水鸿寿《一维流体力学数值方法》3.1•《ComputationalMethodsforFluidDynamics》,FerzigerandPeric,SpringerChap.623作业2•1.用Fourier法分析3.1.6.1节中Crank-Nicolson格式的稳定性。•2.分析前面3.1.6节中MacCormack格式是几阶精度。243.2有限体积法•出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、柱坐标、球坐标）•以控制体为离散量•计算体积分和面积分需要适当的插值公式和积分公式(quadratureformula)•适用于任意形状的网格，复杂几何形状•缺点：难以构造大于二阶以上的格式253.2.1定常守恒型方程和控制体dqdsdsSSnnvgrad263.2.2面积分的逼近•面积分用积分点的值表示(quadrature)•积分点的值用CV的值表示(interpolation)•对于Simpson公式,对积分点的插值需要四阶精度eSseeneeSeeeSkSSffffdSSfSffdSfdSfdSeek461:order4th:order-2nd273.2.4体积分的逼近•当被积函数为某种型函数时，可以得到精确的积分，逼近精度取决于型函数的精度。是精确的积分时，为常值分布或线性分布几何中心的值。为PPPPqqCVqqqqd:order-2nd283.2.4体积分的逼近四阶精度：2D直角坐标网格最后一式可以四阶精度逼近3D的面积分293.2.5