2013-2014学年-高中数学-人教A版选修1-1----第三章---章末复习课

章末复习课本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课画一画·知识网络、结构更完善本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课题型一分类讨论思想在导数中的应用例1设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的极值．分析根据求单调区间及极值的步骤求解．解(1)由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1.当a＝1时，f′(x)＝6x2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课当a1时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗从上表可知，函数f(x)在(－∞，0)，(a－1，＋∞)上单调递增，在(0，a－1)上单调递减．(2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值；当a1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课小结分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”．通过分类讨论，可以把一个变幻不定的问题分解成若干个相对确定的问题，从而使问题变得条理清晰，层次分明，易于解决．分类讨论思想在本章中主要体现在问题中含有参数或问题是分类给出的题型中．例如，单调性的判断、求极值、求最大(小)值等问题往往要用到分类讨论．研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课跟踪训练1设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax(a为实数)．(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；(2)若a3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；(3)是否存在a，使得x∈(0,1]时，f(x)有最大值1?解(1)设x∈(0,1]，则－x∈[－1,0)．∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x3＋ax，即x∈(0,1]时，f(x)＝－x3＋ax.(2)f(x)在(0,1]上单调递增，证明如下：f′(x)＝－3x2＋a，x∈(0,1]，∴－3x2∈[－3,0)．研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课又a3，∴a－3x20，即f′(x)0.∴f(x)在(0,1]上单调递增．(3)当a3时，f(x)在(0,1]上单调递增，∴f(x)max＝f(1)＝a－1＝1.∴a＝2与a3矛盾．当0≤a≤3时，令f′(x)＝a－3x2＝0，得x＝a3或x＝－a3(舍去)．x∈0，a3时，f′(x)0，研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课∴f(x)在0，a3上单调递增．x∈a3，1时，f′(x)0，∴f(x)在a3，1上单调递减．又函数f(x)在x＝a3处连续，∴f(x)max＝fa3＝－a33＋aa3＝1.解得a＝3274，当a0时，f′(x)＝a－3x20，∴f(x)在(0,1]上单调递减，f(x)在(0,1]上无最大值．综上，存在a＝3274，使f(x)在(0,1]上有最大值1.研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课题型二转化与化归思想在导数中的应用例2设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．解(1)对f(x)求导得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax1＋ax22.①当a＝43，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.综合①，可知x(－∞，12)12(12，32)32(32，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课所以，x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a0，知0a≤1.小结转化与化归思想就是在处理繁杂问题时通过转化，归结为易解决的问题，本题中将函数性质的讨论归结到二次不等式的解．研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课跟踪训练2如果函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．解析显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，y′＝4x－1x＝4x2－1x.由y′0，得函数f(x)的单调递增区间为12，＋∞；由y′0，得函数f(x)的单调递减区间为0，12，由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－112k＋1k－1≥0解得1≤k32.研一研·题型解法、解题更高效1≤k32本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课题型三数形结合思想在导数中的应用例3求函数f(x)＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根(其中a0)?解函数的定义域为R，其导函数为f′(x)＝3x2－3a.由f′(x)＝0可得x＝±a，列表讨论如下：x(－∞，－a)－a(－a，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课由此可得，函数在x＝－a处取得极大值f(－a)＝2＋2a；在x＝a处取得极小值f(a)＝2－2a.根据列表讨论，可作函数的草图(如图)．因为极大值f(－a)＝2＋2a0，故当极小值f(a)＝2－2a0，即a1时，方程x3－3ax＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f(a)＝2－2a0，即0a1时，方程x3－3ax＋2＝0有唯一的实根．研一研·题型解法、解题更高效3232323232本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课小结通过学习利用导数研究函数的极值与最值，结合以前所掌握的研究函数的奇偶性与单调性的方法，给定一个函数，其图象的大致轮廓就能清晰地呈现在我们面前．一些数学问题便能顺利解决．方程根的个数或者说函数零点的个数问题即是数形结合思想在导数中的一个具体的应用．研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课跟踪训练3已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1||x2|，则有()A．a0，b0B．a0，b0C．a0，b0D．a0，b0解析由f(x)的图象易知f(x)有两个极值点x1、x2，且x＝x1时有极小值，因此f′(x)＝3ax2＋2bx＋1的图象如图所示，因此a0.又|x1||x2|，∴－x1x2，∴x1＋x20，即x1＋x2＝－2b3a0，∴b0.B研一研·题型解法、解题更高效本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课1.当a取下列哪个值时，函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点()A.8B.6C.4D.2解析f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，知可能的极值点为x＝1，x＝2，且f(1)＝5－a，f(2)＝4－a，可见当a＝4时，函数f(x)恰好有两个零点.C练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课2.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象的是()解析设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，得当x＝－1时，ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1，x2，则x1x2＝aa＝1，D中图象一定不满足该条件.D练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为()A.(－1,1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)解析设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－20，∴m(x)在R上是增函数.∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)0的解集为{x|x－1}，即f(x)2x＋4的解集为(－1，＋∞).B练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课4.设函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的极小值大于0，求k的取值范围.解(1)当k＝0时，f(x)＝－3x2＋1，∴f(x)的单调增区间为(－∞，0]，单调减区间为[0，＋∞).当k0时，f′(x)＝3kx2－6x＝3kxx－2k，∴f(x)的单调增区间为(－∞，0]，2k，＋∞，单调减区间为0，2k.练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课(2)当k＝0时，函数f(x)不存在极小值；当k0时，依题意f2k＝8k2－12k2＋10，即k24，由条件k0，得k的取值范围为(2，＋∞).练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关画一画研一研练一练章末复习课利用导数来讨论含参数的函数的性质，要对参数进行分类讨论；已知函数的性质求参数范围，可转化为导数满足的条件进行求解；实际应用题及一些不等式问题可构造函数解决；函数性质的讨论还要和图形结合起来.本讲栏目开关画一画研一研练一练