大学微积分课件(PPT幻灯片版)

定积分第一节定积分的概念与性质abxyoA?曲边梯形由连续曲线yf(x)(f(x)0)、x轴与两条直线xa、xb所围成.实例1（求曲边梯形的面积）一、问题的提出yf(x)abxyxoabyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，在区间[a,b]内插入若干个分点，ax0x1x2xn1xnb,oaxi1ixixn1bxyx1把区间[a,b]分成n个小区间[xi1,xi]，长度为xixixi1;在每个小区间[xi1,xi]上任取一点，i以[xi1,xi]为底，f(i)为高的小矩形面积为Aif(i)xinAf(i)xii1当分割无限加细,记小区间的最大长度或者(x)xmax{x1,x2,xn}趋近于零(x0或者0)时，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为Alimf(i)xin0i1实例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是时间间隔[T1,T2]上t的一个连续函数，且v(t)0，求物体在这段时间内所经过的路程思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割T1t0t1t2tn1tnT2tititi1siv(i)ti部分路程值某时刻的速度（2）求和nsv(i)tii1max{t1,t2,,tn}（3）取极限slimv(i)tin0i1路程的精确值定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入记xmax{x1,x2,,xn}，如果不论对[a,b]若干个分点axxxxxb012n1n把区间[a,b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为xixixi1，(i1,2,)，在各小区间上任取一点i（ixi），作乘积f(i)xin并作和Sf(i)xi，i1(i1,2,)二、定积分的定义怎样的分法，也不论在小区间[xi1,xi]上a积分下限f(x)dxIlimf(i)xibn0i1被积函数被积表达式积分变量[a,b]积分区间点i怎样的取法，只要当x0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为积分上限积分和注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.abbf(x)dxaf(t)dtaf(u)dub（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.（3）当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在时，称f(x)在区间[a,b]上可积.当函数f(x)在区间[a,b]上连续时，称f(x)在区间[a,b]上可积.定理1定理2设函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类的间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积.三、存在定理f(x)0,af(x)dxAb曲边梯形的面积f(x)0,af(x)dxA曲边梯形的面积的负值bA1A2A3A4A4A2A3f(x)dxA1ba四、定积分的几何意义几何意义：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线xa,xb之间的各部分面积的代数和在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号．例1利用定义计算定积分xdx.102解将[0,1]n等分，分点为xi，(i1,2,,n)ni小区间[xi1,xi]的长度xi取ixi，(i1,2,,n)，(i1,2,,n)n1nf(i)xii1ixii1n2xx,i12iinni1n2i1ni2n3i1n161n(n1)(2n1)n31,12116nnx0nxdx102xiin0i1lim2nlim111211.nn63五、定积分的性质证a[f(x)g(x)]dxnblim[f(i)g(i)]xi0i1limf(i)xilimg(i)xinn0i10i1af(x)dxag(x)dx.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）bbbbb性质1a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx.akf(x)dxkaf(x)dxk(bb为常数).证akf(x)dxlimkf(i)xibn0i1limkf(i)xinni10klimf(i)xi0i1kaf(x)dx.b性质2abcbf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx.补充：不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.例若a则abc,cf(x)dxaf(x)dxbf(x)dxcbabf(x)dxaf(x)dxbf(x)dxcccbaf(x)dxcf(x)dx.（定积分对于积分区间具有可加性）性质3假设acb性质41dxbadxba.ba则af(x)dx0.b(ab)证f(x)0,f(i)0,(i1,2,,n)xi0,nf(i)xi0,i1max{x1,x2,,xn}iin0i1f()xlimf(x)dx0.ba性质5如果在区间[a,b]上f(x)0，例1比较积分值edx和x20xdx的大小.20解令f(x)exx,x[2,0]f(x)0,(exx)dx0,02edxx20xdx,02于是edxx20xdx.20可以直接作出答案性质5的推论：（1）如果在区间[a,b]上f(x)g(x)，证f(x)g(x),g(x)f(x)0,a[g(x)f(x)]dx0,ag(x)dxaf(x)dx0,bbb于是f(x)dxbbag(x)dx.a则f(x)dxg(x)dx.(ab)bbaaf(x)dxf(x)dx.(ab)baab证f(x)f(x)f(x),f(x)dx,f(x)dxf(x)dxbabbaa即f(x)dxf(x)dx.baab说明：|f(x)|在区间[a,b]上的可积性是显然的.性质5的推论：（2）设M及m分别是函数证amf(x)M,amdxaf(x)dxaMdx,bbbm(ba)f(x)dxM(ba).ba（此性质可用于估计积分值的大致范围）曲边梯形的面积夹在两个矩形之间则m(ba)f(x)dxM(ba).bf(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，性质6解f(x),sinxxx2x2f(x)xcosxsinxcosx(xtanx)0x[,]42f(x)在[,]上单调下降,42故x为极大点，x为极小点,42例2不计算定积分估计的大小dxxsinx242424Mf()22,mf()2,42ba,2442sinxdx22,4412sinxdx2.x2x证性质7（Th5.1定积分第一中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，f(x)dxMbamba1m(ba)f(x)dxM(ba)ba由闭区间上连续函数的介值定理知使af(x)dxf()(ba).(ab)积分中值公式b在区间[a,b]上至少存在一个点，使f(x)dx,1f()babaf(x)dxf()(ba).ba(ab)积分中值公式的几何解释：在区间[a,b]上至少存在一xoab个点，使得以区间[a,b]为即yf()以曲线yf(x)底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f()的一个矩形的面积。Th5.2(推广的积分第一中值定理）如果函数f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续，且g(x)在闭区间[a,b]上可积且不变号,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使f(x)g(x)dxf()g(x)dx当g(x)1时,即为Th5.1bbaa六、积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点，考察定积分axxf(x)dxaf(t)dt记(x)af(t)dt.x积分上限函数如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，axxbxyf(t)dto定理１如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导xa数是f(t)dtf(x)(axb)(x)dxdxa证(xx)xxa(xx)(x)af(t)dtaf(t)dtxxx(x)x(x)af(t)dt.xxxxbf(t)dtf(t)dtf(t)dtxaxxxxaxf(t)dt,xx由积分中值定理得f()xx0,xf(),xlimlimf()x0x0x(x)f(x).o[x,xx],axy(x)计算下列导数t2etttcosxxxdtdxdxdedtdxdedtd111222(3)(2)(1)补充如果f(t)连续，a(x)、b(x)可导，则F(x)f(t)dt的导数F(x)为b(x)a(x)证F(x)f(t)dta(x)b(x)00f(t)dt0b(x)0f(t)dt,a(x)F(x)fb(x)b(x)fa(x)a(x)f(t)dtfb(x)b(x)fa(x)a(x)F(x)dxb(x)a(x)d例1求limx0.21cosx2xedtt解etd1cosx2dtdxdt,cosxt21edxd(cosx)cos2xe,sinxecos2xx21cosxlimx02dtet2x2sinxecosxlimx0.12e00分析：这是型不定式，应用洛必达法则.定理2（原函数存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)原函数.f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个xa定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.定理3（微积分基本公式）如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上b的一个原函数，则f(x)dxF(b)F(a).a又(x)f(t)dt也是f(x)的一个原函数,xa已知F(x)是f(x)的一个原函数，F(x)(x)Cx[a,b]证七牛顿—莱布尼茨公式令xaF(a)(a)C,(a)af(t)dt0aF(a)C,f(t)dtF(x)F(a),xaF(x)f(t)dtC,xa令xbf(x)dxF(b)F(a).ba牛顿—莱布尼茨公式f(x)dxF(b)F(a)F(x)ba微积分基本公式表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量.求定积分问题转化为求原函数的问题.ba注意当ab时，f(x)dxF(b)F(a)仍成立.ba例4求2(2cosxsinx1)dx.0原式202sinxcosxx3.2f(x