第4章 静定结构位移计算与虚功

第4章结构位移计算与虚功-单位荷载法4-1变形体虚功原理4-2变形体虚功原理的应用4-3图乘法4-4互等定理４-1虚功原理４-1-1虚位移虚力虚功虚位移：与对应的力无关的位移，△→FP虚力：与对应的位移无关的力，FP→△虚功：彼此无关的位移与力的乘积，FP△△FP状态1状态2４-1虚功原理４-1-2虚功原理适用条件1力系平衡条件分布荷载与截面内力之间的关系NQQ0dd00dd0(1)0dd0xyFFpxFFqxMMFx４-1虚功原理2变形协调条件wAuAAuBBwBuw变形与位移协调:位移连续、杆件变形后不断开、不重叠。位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。４-1虚功原理wM+dwMwMdwqwq+dwq0dxuu+duddux10ddwxw1：由剪切变形引起的竖向位移2ddwxw2：由弯曲变形引起的竖向位移４-1虚功原理４-1-2变形体虚功原理的证明NQQdd0dd0(a)dd0FpxFqxMFxBNAFFMpqFxuwwuwwQ122Q1[ddd][()]d0(c)()将含有“dx”的项合并，得由力的平衡方程：2Q1NQ[(dd)(dd)()(dd)]0(b)BAFpxFqxMFwxuw得４-1虚功原理根据公式1212Q12QQd[][dd()()(d][d])ddNNNFFMFFMuwwuwwuwFMwF（c）式积分号中第一项代入式（c），得121QQ212Qd[][ddd]()()(d[]dd0())dBBNNAABBAAuwwuwFFMFFMxpqxFxwuwwd(uw)=udw+wdu得４-1虚功原理将式（d）第一项积分号去掉，得121QQQ212[][ddd]()()()d[]dd0(e)BBNNAABBAAFFMFFMxpuwwuwwuwqxFxw(d)(d)BAxxpquwNQNQ[][]BBBAABBBAAAAFFMFuwuwFMNQ1(ddd)(f)BAuwFFM12，将式（e）第一项上下限代入，并考虑2ddwx，得４-1虚功原理(d)(d)BAxxpquwNQNQ[][]BBBAABBBAAAAFFMFuwuwFM1NQ(ddd)BAuwFFM杆端力做的虚功分布力做的虚功截面内力做的虚功虚功原理变形体的一组平衡外力在其协调的微小虚位移上做的虚功等于这组外力产生的内力在虚变形上做的虚功。４-1虚功原理FR1FP1FP2FP3FP4FP5FR2FR3FP6FP1FP2FP3FP4FP5FP6FR1FR2FR3推广支座反力做的虚功各杆端力做的虚功之和结点集中力做的虚功４-1虚功原理(d)(d)BAxxpquwNQNQ[][]BBBAABBBAAAAFFMFuwuwFM1NQ(ddd)BAuwFFM杆系结构的虚功方程将式（f）中的杆端力用结点集中力和支座反力代替，将其它项对各杆件求和，得PiiRkkNQ1(d)(d)(ddd)llFFcpxuqxwFuFwM４-1虚功原理PiiRkkNQ0(d)(d)()dllFFcpxuqxwFFMx则若考虑uxwxx10dddddkd1荷载作用时的位移计算PiiRkkNQ0(d)(d)()dllFFcpxuqxwFFMx虚功原理的一般公式4-3荷载引起的位移计算1位移计算公式的推导内力虚功1NPQPPddduwFFM外力虚功1W位移状态△虚设单位力状态NQFFM1Ni1QdddluwWFFM得单位荷载法求位移N1QdddluwFFM对于线弹性材料QPNPP1ddddddFFMuxwxxEAGAEIQPQPNN()dPlFkxEAGAFFMFMEI位移公式变成：△的物理意义：单位力在位移△上所做的虚功，在数值上等于位移。FPrFQPFNPMPθPPQPPNPPPQNsincosssincosiinsnMMFrFFFrFFF2222PPP0sincossin()dsBVFrkFFsEIGAEA2222PPP203PPPsincossin()d4FrkFFrEIGAEAFrFrFrkEIGAEAFPrrB例解2122.1hIAk对于矩形截面（b×h）0.4GEletthen23P1143BVFrhEIr与弯曲变形相比，剪切和轴向变形对位移的影响,可以忽略不计讨论■刚架、梁：只考虑弯曲变形引起的位移dPlMMxEI■对于桁架：只有轴力NNPNNPdlFFFFlxEAEA■对于拱：通常只有弯曲一项。当拱轴与压力曲线相近时，需考虑弯曲和轴向变形两项。NNPPddlFFMMxxEAEI各类结构的计算公式简化PCHFaEAP122CVFaEA已知：各杆EA相同，求：CVCH、FPaaABCDNPFP2FPFPFN1F1ABCD1N2F21【例】【解】ABCD12P12112MqlxMlxM例杆件EI=常数。试求AVA、解P02041d11d28lAVlMMxEIqlxlxxEIqlEIqlAx11204111d26lAqlxxEIqlEI22P12:012qxBCMMM2P112:12qaABMMxM例各杆EI为常数。求CHC、解aaABCqqa2/2MP图x1x21a1M图12M图P11P222232120011dd1121d1d223CABBCllMMxMMxEIEIqxqaqaxxEIEIEIP11P122411011dd1d24CHABBClMMxMMxEIEIqaqaxxEIEI22P12:012qxBCMMM2P112:12qaABMMxM（1）图乘法基本公式PdBAMMxEIPP1ddBBAAMMxMMxEIEItgMxPPdtgdBBAAMMxMxxPtgdBAxMx00tgdtgBAxAxAyAMyy0MP图图dxABxx0dAMP４－４图乘法条件：1各杆EI为常数；2杆轴为直线；3MP、中至少有一个为直线图形。MP0dBAMMxyA积分等于曲线图形的面积乘以其形心对应的直线图形的纵坐标。Myy0MP图图dxABxx0dAMP图乘结果的正负取决于面积和y是否在杆件的同侧决定。已知：EI为常数。求：B2PP11()122BFlFllEIEI解MP、M图均为直线，纵坐标可从任意图形中选。MP图FPlFPlBAM图112PP11(1)22BFllFlEIEI2PPP111151()4228BFaaFaaFaEIEIEI解“-”说明实际的转角方向与所设的单位力方向相反已知：EI=常数。求B点的转角。aaFPAB4EIEIEIMP图FPaM图11（2）图形的面积和形心ql2/8×ab3a/823Aabb×aa/413Aab图形的形心与面积一定要与荷载对应（3）图形的分解按图形分解y1y21122AyAy1122AyAy1122AyAyA1××A2+×A2×A1+×A2A1×y1y2y1y2按荷载分解y1y3y2112233AyAyAyM1M2M1M2M2M1＋＋×A1A2××A3折线要分段1122AyAyy1y2A1××A2解P3P5112226548CVFlllEIFlEIP3P11123212CVlFllEIFlEI★取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。已知：EI=常数。求△CVFPABl/2l/2CFPlMP图l/21M图22411213223324724BVqlqlllllEIqlEI解已知：EI=常数。求:△BVql/2qlABl1M图MP图ql2MP图按荷载分解+ql2/2ql2/22241122123382724BVqlqlllllEIqlEIMP图按叠加法分解l1M图MP图ql2ql2/8+ql2已知：EI=常数。求:△CVlqlBAC解MP图按整个杆件的叠加法分解MP图按半个杆件的叠加法分解2ql22ql2ql2ql2/2+=2ql22ql2ql2/8ql2/2+=1M图l/2MP图2ql242417qlEICVMP图按半个杆件的荷载分解1M图l/2MP图2ql2qlql2/2ql2/2ql2/2+ql2+2m2m112118585155rad2322CEIEI已知：EI=常数。求：C解1kN/m5kN3m4mABC85MP图(kNm)1M图(kNm)3相对位移计算解内力功iPWMM3PP111248CDFllFllEIEI★求两点的相对位移：在两点的连线上加一对儿等值反向的单位力已知：EI=常数。求：CD外力功11CDWCDCDlM图11ll/2l/2FPl△C△DFPl/4FPMP图解已知：各杆EI=常数。求：A、B两点之间的相对转角。1112164328881rad()2332ABEIEI1kNm8m8mABCDMP图(kNm)328M图11112p56CCFaEI已知：EI=常数。求：CCM图1aaFPaFPa/2MP图FPFPa/2解外力功PPABWFFP1ABABFABW如果PPABABFF那么即NPNP3ABFFFlEAEA求：AB1ABABABl1ABl解aaaFPABP2FPFPFP2FPFFNP图PFPFABa1a1a/1a/1FN图ABCBaaaFPABC求ED3m3m3mABC4kN3m2kNMP、FNP图6kNm4组合结构位移计算已知：EI、EA。求：图示结构中C截面两侧的相对转角CC212111631631262323304CEIEAEIEA1M11/3NMF、图解42422.110kN/cm3200cm16cm.已知：，，求：、BVCCEIA2m2m11NMF、图MP、FNP图20kNm90kNm113122120222042204234233211215155937.5290327550.0259m4232BVEIEIEAEIEA2m10kN/mC3m3m4mAB4EIEIMP、FNP图20kNm90kNm2m10kN/mD3m3m4mAB4EIEI12NMF、图1112111220420490323324231535.83156.257