【高中数学选修2-1】2.2.1椭圆及其标准方程

2.2.1椭圆及其标准方程(一)生活中的椭圆生活中的椭圆椭圆概念的引入：在前面圆的方程中我们知道：平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆数学实验F1F2M•[1]在平面内，任取两个定点F1、F2；•[2]取一细绳并将细绳（大于两定点的距离）的两端分别固定在F1、F2两点；•[3]用笔尖（点M）把细绳拉紧，慢慢移动笔尖看看能画出什么图形？演示F1F2请你为椭圆下一个定义想想看，这一过程中什么变化了，什么没有变？1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（用2a表示且大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距(2c)。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：aMFMF221(2a2c)MF2F1数学实验F1F2M•[1]在平面内，任取两个定点F1、F2；•[2]取一细绳并将细绳（大于两定点的距离）的两端分别固定在F1、F2两点；•[3]用笔尖（点M）把细绳拉紧，慢慢移动笔尖看看能画出什么图形？若改为小于或等于将是什么情况？演示1演示2结论：1.当绳长大于两定点F1,F2间的距离时，轨迹是椭圆。2.当绳长等于两定点F1,F2间的距离时，轨迹是以F1,F2为端点的线段。3.当绳长小于两定点F1,F2间的距离时，不能构成图形。♦求动点轨迹方程的一般方法：（1）建系设点（2）列式（3）代换、化简（4）审查坐标法2.求椭圆的方程：♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常利用“对称性”OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM2.求椭圆的方程：解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y（问题：下面怎样化简？）aMFMF2||||21222221)(||,)(||ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222得方程由椭圆的定义得：代入坐标222222bayaxb22ba两边除以得).0(12222babyax令所以即,0,,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx222)(ycxacxa2222222222422yacacxaxaxccxaa两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，平方aycxycx2)()(2222)0(12222babxay总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式012222babyax焦点在y轴：焦点在x轴：3.椭圆的标准方程:1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFMx012222babyax012222babxay图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大.OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c))0(12222babyax)0(12222babxay椭圆的标准方程的认识：（1）“椭圆的标准方程”是个专有名词，专指本节介绍的两个方程，方程形式是固定的。（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上,即“椭圆的焦点看分母，谁大在谁上”例1、填空：(1)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________例题精析1162522yx543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点所在轴的方法：看分母，谁大在谁上练习1：判定下列椭圆的焦点在哪条轴上？并指明a2、b2，写出焦点坐标1162522yx答：在X轴。（-3，0）和（3，0）116914422yx答：在y轴。（0，-5）和（0，5）112222mymx答：在y轴。（0，-1）和（0，1）15422yx(2)已知椭圆的方程为：,则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：__________，焦距等于_________;若曲线上一点P到下焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________，则∆F1PF2的周长为___________21(0,-1)、(0,1)25352252PF1F2例1、填空：练习2：将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标0225259122yx192522yx132222yx1312212yx例2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2，0),(2，0),并且经过点,求它的标准方程.)23,25(解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为(a＞b＞0)由椭圆定义知所以,又因为,所以因此,椭圆的标准方程为12222byax102)23()225()23()225(22222a10a2c6410222cab161022yx待定系数法两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：)0(12222babyax2a=10，2c=8即a=5，c=4故b2=a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：192522yx练习、求满足下列条件的椭圆的标准方程：2222+=10xyabab2222+=10xyabba看分母，谁大在谁上12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标探究定义a、b、c的关系xyF1F2MOxyF1F2MOa2-c2=b2(ab0)总结回顾|MF1|+|MF2|=2a（2a2c）