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比赛问题专项n人参赛需要的比赛场次淘汰赛需要决出冠亚军n-1（淘汰n-1个队伍就能决出冠亚军）淘汰赛需要决出前四名n单循环（任两人间打一场比赛）C（n2）双循环（分主客场）A（n2）比赛推理类例1：小赵，小钱，小孙一起打羽毛球，每局两人比赛，另一人休息，三人约定每一局的输方下一局休息，结束时算了一下，小赵休息了2局，小钱共打了8局，小孙共打了5局，则参加第9局比赛的是（）？【国家2011】A.小钱和小孙B.小赵和小钱C.小赵和小孙D.以上皆有可能楚香凝解析：小赵休息的2局是小钱和小孙在打，根据两容斥公式，总局数=8+5-2=11局，小孙打了5局，因为不能连续休息两局，所以小孙必然是休息一局打一局，奇数局休息、偶数局上场，所以第9局是小赵和小钱，选B例2：4支足球队单循环赛，每两队都赛一场，每两队都赛一场，每场胜者得3分，负者得0分，平局各得1分。比赛结束4支队的得分恰好是4个连续自然数，第四名输给第（）名。A.第一名B.第二名C.第三名D.无法确定楚香凝解析：每场最少得2分、最多得3分，共C（42）=6场，所以总分数介于12-18之间；则四个连续自然数可以是2+3+4+5=14或3+4+5+6=18，当为18时相当于没有平局，则不可能出现4分、5分的情况，排除；所以四支队的得分分别是2、3、4、5，第一名5分说明胜1场平2场、第二名4分说明胜1场平1场负1场、第四名2分说明平2场负1场，三支队伍共胜2场平5场负2场（胜的总场数=负的总场数），则第三名只能为平3场、相当于跟另外三支队伍都是平局，则第四名的另一场平局只能跟第一名，那么第四名输给了第二名，选B比赛分数类例1：8支足球队参加单循环比赛，胜者得2分，平者得1分，负者得0分，比赛结束后，8支足球队的得分各不相同，且第2名的得分与后4名的得分总和相等，第3名的得分是第5名的两倍，第4名的得分是第6名的两倍。问第一名比第四名多拿了多少分？【山东2014】A.3B.4C.5D.6楚香凝解析：8个队单循环，总场次=C（82）=28场，每场无论胜负情况如何两人总分都是2分，所以总比分=56分，第三名得分是第五名的两倍，第四名的得分是第六名的两倍，所以第三名和第四名的得分必为偶数，第二名的得分与后四名相同，所以两者和也必为偶数，现在第二名+第5678名是偶数、第三名+四名是偶数，所以第一名也必为偶数，排除AC，假设差了四分，设第一名x、第二名x-1、第三名x-2、第四名x-4、后四名x-1，总和=5x-8=56，x不是整数排除，选D例2：学校举办一次中国象棋比赛，有10名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他9名同学比赛一局。比赛规则，每局棋胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分，比赛结束后，10名同学的得分各不相同，已知：（1）比赛第一名与第二名都是一局都没有输过；（2）前两名的得分总和比第三名多20分；（3）第四名的得分与最后四名的得分和相等。那么，排名第五名的同学的得分是（）。【国家2007】A.8分B.9分C.10分D.11分楚香凝解析：10名同学单循环，每局无论胜负平，总分都是2分，所以总分数C（102）*2=90，第一名和第二名没输过，所以第一名最多胜8平1得17分，第二名最多胜7平二得16分，第三名最多13分，第四名=最后四名最多12分，这八名最多17+16+13+12*2=70分；第五名最多11分、则第五名只能为11分，如果第五名取10分的话、第六名最多9分，此时70+10+9=89≠90分，选D例3：一次足球赛，有A、B、C、D四队参加，每两队都赛一场。按规则，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分。比赛结果，C队得5分，A队得3分，D队得1分，所有场次共进了9个球，C队进球最多，进了4个球，A队共失了3个球，B队一个球也没进，D队与A队比分是2∶3，则D队与C队的比分是()A.0:0B.0:1C.0:3D.3:2楚香凝解析：A队共失了3个球，D队与A队比分是2∶3。说明A队失球其中两个是D队射的。又因为B没进球，所以另外一个失球来自于C队。D队与A队比分是2∶3，所有场次共进了9个球，C队进了4个球。说明A队射3个，C队射4个，D队射2个。C：A=1:0A得到2分B：D=0:0D得到1分比赛结果D队总分是1分，所以D在对抗其他队伍的时候都是输的。又因为C队得5分，表示c两胜一平，它已经胜了A，并且有因为赢了D所以只能和B打成平手。C：B=0:0。所以D队与C队的比分是：0:3，选C例4：五支足球队进行单循环赛，每两队之间进行一场比赛.胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。最后发现各队得分都不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平，获得第一名的球队得分是多少？A.9B.10C.11D.12楚香凝解析：每个队比4场，第一名平了一场，剩下3场全胜的话，为10分，排除CD；如果是A的话，第一名平了一场，剩下3场得分总和不可能为8分，排除；选B例5：小刘和小李进行投标比赛，投不中记零环，投中按离靶心距离得1~10环。两人各投5标，所得环数之积都是1764，但小刘的总环数比小李多4环，那么小李得了()环。【河北政法干警2014】A.24B.26C.28D.30楚香凝解析：1764=22*32*72，所以可以拆成五种①（2*2）*3*3*7*7，和为4+20=24；②（2*3）*2*3*7*7，和为6+5+14=25；③（3*3）*2*2*7*7，和为6+4+14=24；④（2*2）*（3*3）*1*7*7，和为28；⑤（2*3）*（2*3）*1*7*7，和为27；要想满足两人差为4，则小李总环数必为24环，选A例6：在一场篮球比赛中，甲、乙、丙、丁共得125分，如果甲再多得4分，乙再少得4分，丙的分数除以4，丁的分数乘以4，则四人得分相同。问甲在这场比赛中得了多少分？【2014山西】A.24B.20C.16D.12楚香凝解析：假设四人变化后得分相同都为x，则甲实际得分x-4，乙实际得分x+4，丙得分4x，丁得分x/4，四人实际得分和=25x/4=125，得x=20，所以甲实际得分20-4=16，选C比赛名次类例1：某单位举办围棋联赛，所有选手的排名都没有出现并列名次。小周发现除自己以外，其他所有人排名数字之和正好是70。问小周排名第几？【山东2014】A.7B.8C.9D.10楚香凝解析：所有选手的排名构成首项为1的等差数列，1+2+…+N，N取12时总数为78，所以小周排第八，选B比赛局数类例7：八名棋手进行单循环比赛，每两人只对局一次，其中七人已经分别赛过7、6、5、4、3、2、1盘。问另外一人比赛了几盘？【2014青海】A.0B.2C.4D.6楚香凝解析：让前7个人按照赛事多少编号为ABCDEFG、第八个人编号H。从两端往中间分析，A比赛了7盘，相当于跟B/C/D/E/F/G/H都比赛一盘，G只比赛一盘，所以只跟A比赛；B比赛了六盘，所以跟A/C/D/E/F/H（除了G）都比赛过，F比赛了两盘，只跟A/B比赛过；C比赛了五盘，所以跟除了A/B/D/E/H（除了F和G）都比赛过，E比赛了三盘，只跟A/B/C比赛过；D比赛了四盘，除了跟A/B/C比赛之外，只能跟H比赛一场，所以跟H比赛的人有A、B、C、D四个人，选C对例5、例6、例7进行总结，a个人（a≥2）进行单循环，其中a-1个人分别赛过a-1、a-2…1场，那么另外一人比赛了b场。（1）当a为偶数时，b=a/2；（2）当a为奇数时，b=（a-1）/2；比赛循环周期类甲乙两人在玩一个沙盘游戏。比赛的规则是：在一个分为50个单位的区域上，每人轮流去规定这些区域作为自己的领地，每次可以划定1到5个单位，谁作为最后划定区域的人则为胜利者。如果由甲先划定，那么甲一开始要划定()个单位，才能保证自己的获胜。【2014广州】A.1B.2C.3D.4楚香凝解析：每次划定1-5个单位，周期为1+5=6,50内有8个周期，50-8*6=2，所以甲开始要划定2个单位，接下来每次乙划定a个单位时，甲只需划定6-a个单位（保证两人为一周期）则最后必定是甲来划定完最后一个周期，选B。拓展：如果题目改为谁作为最后划定区域的人则为失败者，那么甲一开始要划定1个单位，然后乙划定a个单位时，甲只需划定6-a个单位（保证两人为一周期），最后必定给乙留下最后1个单位。比赛极值问题①总队伍数极值例2：有16位选手参加象棋晋级赛.每两人都只赛一盘.每盘胜者积1分,败者积0分。如果和棋,每人各积0.5分。比赛全部结束后,积分不少于10分者可以晋级，则本次比赛最多有名晋级者？A.12B.11C.10D.9楚香凝解析：总分数=1*C（162）=120分；假设12人晋级的话，则另外4人都是0分（不成立，另外4人两两之间有6场比赛至少有6分）；假设11人晋级的话，则另外5人总分10分，11人每人赛15场，每个人5胜10平=10分，另外5人每人平4负12即可满足，选B②分数极值例5：有10人参加篮球比赛，赢一局得3分，平1局得1分，输一局不得分，那么第三名和第四名的分数差最大是多少分？A.20B.18C.17D.16楚香凝解析：第三名分数最多的情况为前三名都是胜8负1共24分（A输给B、B输给C、C输给A）；第四名分数最少的情况为后七名都是平6负3共6分，则第三名和第四名分数差最大为24-6=18，选B例6：公司举办的内部业务知识竞赛有若干人参加，所有参赛者获得的名次之和为300，且所有人没有并列名次。其中，销售部门、售后服务部门和技术部门参赛者获得的名次平均数分别为11.3、10.4和9.2，问其他部门获得的名次最高为多少？【河南2014】A.16B.18C.20D.21楚香凝解析：假设有n人，可得1+2+3+…+n=n*（n+1）/2=300，所以n*（n+1）=600，解得n=24；每个部门的总分数必为整数，所以销售部门人数为10、售后服务部门人数为5、技术部门人数为5，总共10+5+5=20人、总名次=10*11.3+5*10.4+5*9.2=211，则其他部门的人数为24-20=4、总名次=300-211=89，要想让其中一个最高（名次数尽可能小），则剩下的就得尽可能低（名次数尽可能大），剩下三个分别取22、23、24，此时最高的名次为89-23*3=20，选C例7：有一群人参加投篮比赛，比赛时长3分钟，投进一次记2分，不进不扣分。所有人平均分为77,最低分为70。前四名分数不同，其中第四名为90分，后发现此人作弊，成绩无效。去掉此人后，平均分为76分。则此次比赛中第二名最多得多少分？A.96B.98C.100D.102楚香凝解析：以前每人平均分76，加了这个90分的人使得所有人平均分增加1分，说明总共14个人，以总分100为参照，共扣了23*14=322分，投进一个得2分，所以每个人的总得分都为偶数、扣的分数也为偶数；第二名要想扣的最少，其他人就要扣的尽可能多，第四名扣了10分，让第三名扣了8分、第5-14都扣了30分，则第3-14名共扣了30*10+10+8=318分，剩下4分是前两名扣的，让第一名扣0分、第二名扣4分，所以第二名96分，选A例8：某机关20人参加百分制的普法考试，及格线为60分，20人的平均成绩为88分，及格率为95%。所有人得分均为整数，且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多少分？【国家2010】A.89B.88C.91D.90楚香凝解析：20人总共扣了20*（100-88）=240分，要想使得第十名得分最低，就要使第十名扣的分数尽可能多，其他人扣的分数尽可能少；前9名分别扣了0、1…8分、最后一名扣了41分，总共扣了36+41=77分，所以第十名到第19名这十个人扣了240-77=163分；因为第11名到第19名扣的分数要尽可能多，所以相当于从第10名到第19名扣的分数构成公差为1的等差数列，中位数为第14.5名扣了163/10=16.3分，所以第10名扣了16.3-（14.5-10）=11.8，第十名最多扣11.8，所以取11，则第十名最少得分为100-11=89，选A例9：一个20人的班级举