概率论第二章随机变量及其分布课件

第二章随机变量及其分布第1页概率论与数理统计第二章随机变量及其分布RandomVariableandDistribution第二章随机变量及其分布第2页概率论与数理统计第一节随机变量的概念与离散型随机变量一、随机变量的概念二、离散型随机变量三、常见的离散型随机变量第二章随机变量及其分布第3页概率论与数理统计一、随机变量通常，随机变量常用大写的英文字母X，Y，Z或ξ,η,ζ等表示．定义：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，并且变量的取值随着试验结果的不同而变化着，当试验结果确定后，它所取的值也就相应地确定，这样的变量称为随机变量(RandomVariable)1、随机变量的概念第二章随机变量及其分布第4页概率论与数理统计例1投掷一枚硬币，观察出现正反面的情形。Ω={正面，反面}(2)令X表示正面(反面)出现的次数，则X=0，1则X是一个随机变量(1)令X=出现正面出现反面,1,0则X是一个随机变量第二章随机变量及其分布第5页概率论与数理统计例2：一个袋中装有个2白球和3个红球，从中任取2个，观察所取两个球的颜色Ω={两个红球，一红一白，两个白球}令X表示2个球中白球(红球)的个数，则X=0，1，2则X是一个随机变量第二章随机变量及其分布第6页概率论与数理统计例3考察一个医院每天的就诊人数Ω={0，1，2，3，‥‥}令X表示一个医院每天的就诊人数，则X=0，1，2，3，‥‥则X是一个随机变量第二章随机变量及其分布第7页概率论与数理统计例4某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,观察公交车站上乘客的等车时间Ω=[0,5)令X表示公交车站上乘客的等车时间，则X=t，0≤t5则X是一个随机变量第二章随机变量及其分布第8页概率论与数理统计2、随机变量的分类通常分为两类：随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值有限个或可以逐个一一列举全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.第二章随机变量及其分布第9页概率论与数理统计二、离散型随机变量(discreteRandomVariable)定义：如果随机变量X所有可能的取值只有有限个或可列无限个，则称X为离散型随机变量1、离散型随机变量的定义第二章随机变量及其分布第10页概率论与数理统计2.离散型随机变量的分布律(列)例：抛掷一个骰子,用X表示骰子向上一面的点数,则X可能取的值有X123456P616161616161此表从概率的角度指出了随机变量X在随机试验中取值的分布情况.1,2,3,4,5,6.第二章随机变量及其分布第11页概率论与数理统计定义：设离散型随机变量X的所有可能取值为，，，，nxxx21并设,2,1,kpxXPkk则称上式或表格X1x2x，nxP1p2p，np为离散型随机变量X的分布律(分布列)．第二章随机变量及其分布第12页概率论与数理统计注：分布律的常见表示方法：②表格法：X12nxxxkp1p2pnp①数学式子法(),1,2,kkPXxpk第二章随机变量及其分布第13页概率论与数理统计3、离散型随机变量分布律的性质:;0)(kpk，有对任意的自然数非负性⑴.1)(kkp归一性⑵第二章随机变量及其分布第14页概率论与数理统计XkP01234、例子例5：设随机变量X具有分布律91)1(29121试确定常数解:由离散型随机变量分布律的归一性知0)1(212191)1(291且解得31第二章随机变量及其分布第15页概率论与数理统计例6：盒中有12只晶体管，其中有2只次品，10只正品，现从盒中任取3只，求取出的3只所含次品数的分布律。解：(1)X的可能取值为0，1，2312102103312122121031269(0),(1)11221(2)22CCCPXPXCCCCPXC故，X的分布律为0126/119/221/22XPX第二章随机变量及其分布第16页概率论与数理统计三、几种常见的离散型随机变量1.(0－1)分布X只可能取0与1两个值，分布律为011pp称服从（0－1）分布。XX（0－1）分布用来描述只有两个结果的随机试验。kp第二章随机变量及其分布第17页概率论与数理统计2.二项分布(theBinomialDistribution)n重伯努①利试验：EAA设试验只有两个可能结果：及)EBernoulli则称为伯努利（试验。E若将独立的重复nn次，则称这一串重复的独立重伯努试验为利试验。n重伯努利试验②中常见的问题：(),()1(01)PApPApp设我们关心的是AnX事件在重伯努利试验中发生的次数，若以记之X是一个离散型随机变量，下面求它的分布律：第二章随机变量及其分布第18页概率论与数理统计0Xn的可能取值为，1，，0()Akknnk在指定的≤≤次试验中发生，其余次试验中不发生的概率为：(1)knkppknC这种指定方式共有种，它们两两互不相容，故()(1)0,1,,kknknPXkCppkn第二章随机变量及其分布第19页概率论与数理统计③二项分布：X若离散型随机变量的分布律为：()(1)0,1,,kknknPXkCppkn~(,)XXBnp则称服从二项分布，记为(,)nABnp重伯努利试验中事件发生的次数服从二项分布npA为重复试验的次数，为一次试验中发生的概率。第二章随机变量及其分布第20页概率论与数理统计例如：⑴某种产品的合格率为0.95，从中任取50件，以X表示其中合格品的件数，则~(50,0.95)XB⑵10台同型号的机器，每台任意时刻正常工作的概率为0.80，机器工作相互独立，~(10,0.80)YB则以Y表示某时刻机器正常工作的台数第二章随机变量及其分布第21页概率论与数理统计例7连续不断地掷一枚均匀硬币,问至少掷多少次才能使正面至少出现一次的概率不小于0.99?解设需投掷n次,A表示“正面朝上”，则P(A)=1/2,在n次投掷中A出现的次数为X,A所以至少出现一次的概率为1(0.5)0.99n=≥则X~B(n,0.5),110PX=PX=7n第二章随机变量及其分布第22页概率论与数理统计(0－1)分布与二项分布的关系④01n二项分布可以分解成个相互独立的分布随机变量之和01n个相互独立的分布随机变量之和服从二项分布。注：n=1时，二项分布就是（0－1）分布第二章随机变量及其分布第23页概率论与数理统计3.泊松分布012(),,,!kXePXkkk离散型随机变量的分布律如果为0~()XX其中是常数，则称服从参数为的泊松分布，记为泊松分布是1837年法国数学家西莫恩-德尼-泊松（PoissonS.D.）首次提出的.泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。1、定义第二章随机变量及其分布第24页概率论与数理统计实际中的泊松分布电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼叫次数某路段一个月内发生的交通事故的次数车站某时段等车人数医院每天的就诊人数一个时间间隔内某放射性物质发出的、经过计数器的α粒子数商店某种商品的月销售量第二章随机变量及其分布第25页概率论与数理统计例1：设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知21XPXP解：随机变量X的分布律为．试求4XP，，，210!kekkXPk由已知21XPXP第二章随机变量及其分布第26页概率论与数理统计得ee!2!121由此得方程022得解．2不合题意，舍去另一个解0所以，24!424eXP232e09022.0第二章随机变量及其分布第27页概率论与数理统计例2：某商店某种商品日销售量X~π(6),试求以下事件的概率(1)日销售3件的概率；(2)日销量不超过2件，10件的概率；第二章随机变量及其分布第28页概率论与数理统计2、Poisson分布与二项分布的关系，，若随机变量pnBX~比较小时，比较大，则当pnnp令：knkknppCkXP1则有,0,1,2,!kekk泊松定理第二章随机变量及其分布第29页概率论与数理统计4、超几何分布:定义2.6:knkmNmnNCCXPX=k=k=nC有分布律为,0,1,,X则称服从超几何分布.第二章随机变量及其分布第30页概率论与数理统计作业：P3415第二章随机变量及其分布第31页概率论与数理统计第四节随机变量的分布函数一、分布函数的定义二、离散型随机变量的分布函数三、分布函数的性质第二章随机变量及其分布第32页概率论与数理统计问题的提出：对于离散型随机变量，可用其概率分布来刻划其统计规律性。对于非离散型的随机变量，如何描述其取值及其取值规律性呢？由于讨论非离散型随机变量X取单个值的概率没有意义(将在后面论述)，故讨论其落入某一个区间的概率。尽管区间的类型有(a,b),(a,b],[a,b),[a,b],(-∞,b),(-∞,b],(a,+∞),[a,+∞)等8类，但区间(-∞,b]是有代表意义的，故考虑概率P{X≤x}x对于x∈R，概率P{X≤x}存在且为x的函数，这个函数称为随机变量X的分布函数。第二章随机变量及其分布第33页概率论与数理统计一、分布函数的定义如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间内的],(x概率.xoxXX设X是一个r.v，x为任意的实数，称)()(xXPxF)(x为X的分布函数,记作F(x).定义：第二章随机变量及其分布第34页概率论与数理统计(1)在分布函数的定义中,X是随机变量,x是自变量.(2)F(x)是r.v.X取值不大于x的概率.(3)对任意实数x1x2，随机点落在区间(x1,x2]内的概率为：P{x1Xx2}因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.=F(x2)-F(x1)1x2xoxXXXX请注意:第二章随机变量及其分布第35页概率论与数理统计例1设随机变量X的分布律为Xkp012131612求(1)X的分布函数F(x).二、离散型随机变量的分布函数(2)P(X≤1.5),P(1X≤4),P(1≤X≤4),第二章随机变量及其分布第36页概率论与数理统计当x0时，{Xx}=，故F(x)=0当0x1时，F(x)=P{Xx}=P(X=0)=31F(x)=P(Xx)解0x12xxXX第二章随机变量及其分布第37页概率论与数理统计当1x2时，F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=316121当x2时，F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=10x12XxxX第二章随机变量及其分布第38页概率论与数理统计故2,121,2110,310,0)(xxxxxF(2)P(X≤1.5)=F(1.5)=1/2P(1X≤4)=F(4)-F(1)=1-1/2=1/2P(1≤X≤4)=F(4)-F(1)+P(X=1)=1/2+1/6=2/3第二章随机变量及其分布第39页概率论与数理统计设离散型r.vX的分布律是P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…n一般地则其分布函数nxxxxxpppxxxppxxxpxxxF,1,,,,0)(4332132212111第二章随机变量及其分布第40页概率论与数理统计31211202161OOO1)(xF的分布函数图xy下面我们从图形上来看一下.第二章随机变量及其分布第41页概率论与数理统计例2：设随机变量X的分布函数为4,142,7.021,2.01,0)(xxxxxF求X的分布律第二章随机变量及其分布第42页概率论与数理统计解：Xkp124020503...第二章随机变量及其分布第43页概率论与数理统计三、分布函数的性质1、单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);2