高中物理教程动量与能量

专题七动量与能量主干知识整合1．动量守恒定律如果一个系统不受外力或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变．(1)用两物体作用前后速度表示：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′；(2)用作用前后系统的总动量(p、p′)表示：p′＝p；(3)用作用前后动量变化(Δp、Δp′)表示：Δp′＝－Δp.2．动量守恒定律成立的条件(1)一个系统不受外力或者所受外力的矢量和为零；(2)系统所受合外力虽然不为零，但系统的内力远大于外力时(如碰撞、爆炸等)，可认为系统的动量近似守恒；(3)系统所受的合外力虽不为零，但如果在某一方向上合外力为零，则该方向上动量守恒；(4)全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒．3．碰撞物体之间在极短的时间内发生相互作用，这种作用称为碰撞．由于作用时间极短，通常满足内力远大于外力，所以可以认为系统的动量守恒．如果碰撞过程中机械能守恒，这种碰撞叫做弹性碰撞；如果碰撞过程中机械能不守恒，这种碰撞叫做非弹性碰撞；若碰撞后物体的速度相同，这种碰撞又叫完全非弹性碰撞．若系统内物体间的作用属于非弹性碰撞，则系统必然存在能量损失，发生机械能和其他形式能的转化．要点热点探究►探究点一动量守恒的三种情况1．应用动量守恒定律应注意的问题(1)选取正方向：若系统内物体作用前后都在同一直线上运动，这时应规定正方向，将矢量运算转化为代数运算．(2)动量是状态量，对应着一个瞬时时刻．动量守恒是指该相互作用过程中的任一时刻的总动量恒定．(3)动量表达式中的速度必须是相对同一惯性参考系的速度，在研究地面上物体间相互作用的过程时，通常取地球为参考系．2．动量守恒的三种情况(1)系统所受的合外力为零，动量守恒；(2)内力远大于外力，动量近似守恒；(3)某方向的合外力为零，该方向上的动量守恒．例1如图2－7－1所示，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M，A、B间动摩擦因数为μ，现给A和B以大小相等、方向相反的初速度v0，使A开始向左运动，B开始向右运动，最后A不会滑离B，求：(1)A、B最后的速度大小和方向．(2)从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，平板车向右运动的位移大小．例1(1)M－mM＋mv0，方向向右(2)2M－m2μMgv20【解析】(1)最终A、B具有相同的速度，设此速度为v，选择向右的方向为正方向．则据动量守恒定律可得：Mv0－mv0＝(M＋m)v解得：v＝M－mM＋mv0，方向向右．(2)从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，木块速度为零，平板车速度为v′，由动量守恒定律得：Mv0－mv0＝Mv′这一过程平板车向右运动s,由能量守恒定律得：μmgs＝12Mv20－12Mv′20解得：s＝2M－m2μMgv20【点评】本题是两个物体相互作用过程动量守恒的最常规的试题，旨在帮助同学们通过试题理解运用动量守恒定律解题时要选择正方向，在有些解答中，可能你看不到诸如“选择……为正方向”的字眼，但是方程的列出一定是选择了正方向的，如果没有写也只能说是省略了．[2011·山东卷]如图2－7－2所示，甲、乙两船的总质量(包括船、人和货物)分别为10m、12m，两船沿同一直线同一方向运动，速度分别为2v0、v0.为避免两船相撞，乙船上的人将一质量为m的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出货物的最小速度．(不计水的阻力)例1变式题4v0【解析】设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为vmin，抛出货物后船的速度为v1，甲船上的人接到货物后船的速度为v2，由动量守恒定律：12mv0＝11mv1－mvmin10mv0－mvmin＝11mv2为避免两船相撞应满足v1＝v2联立以上各式得：vmin＝4v0►探究点二弹性碰撞与非弹性碰撞一个质量为m1的物体以速度v1碰撞一个质量为m2的静止的物体，碰后它们的速度分别为v1′、v2′，在碰撞过程中，动量守恒，其表达式为：m1v1＝m1v1′＋m2v2′.1．若碰撞是弹性碰撞，那么动能也守恒，其表达式为：12m1v21＝12m1v′21＋12m2v′22，碰后的速度v1′＝m1－m2m1＋m2v1，v2′＝2m1v1m1＋m2，若它们的质量相等，那么它们碰撞后将交换速度．2．若碰撞为完全非弹性碰撞，碰撞后两物体的速度相同，则v1′＝v2′＝m1v1m1＋m2.3．若碰撞为一般的非弹性碰撞，则碰撞后速度关系满足以下两个关系式：m1－m2m1＋m2v1≤v1′≤m1v1m1＋m2，m1v1m1＋m2≤v2′≤2m1v1m1＋m24．若碰撞为非弹性碰撞，则碰撞过程中将发生能量转化，系统的机械能与其他形式的能相互转化，通常为机械能转化为内能．例2在光滑的水平面上，质量为m1的小球A以速率v0向右运动．在小球的前方O点处有一质量为m2的小球B处于静止状态，如图2－7－3所示．小球A与小球B发生正碰后小球A、B均向右运动．小球B被在Q点处的墙壁弹回后与小球A在P点相遇，PQ＝1.5PO.假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞都是弹性的，求两小球质量之比m1m2.图2－7－3例2m1m2＝2【解析】从两小球碰撞后到它们再次相遇，小球A和B的速度大小保持不变，对小球B：OQ＋PQ＝v2t对小球A：PO＝v1t，而PQ＝1.5PO，由以上三式得：则两球碰撞后的速度大小之比为v2∶v1＝4∶1两球碰撞过程动量守恒，有：m1v0＝m1v1＋m2v2由于是弹性碰撞，碰撞过程机械能守恒，有12m1v20＝12m1v21＋12m2v22解得：m1m2＝2【点评】本题属于弹性碰撞问题，碰撞中动量守恒，机械能也守恒(因势能未变，表现为动能守恒)，先通过分析碰撞前后的运动，找出碰撞前后物体的速度关系，再利用动量守恒规律和动能守恒规律列方程求解．对弹性碰撞模型，要求能够记忆表达式及结果，可缩短解题的时间．[2011·全国课标卷]如图2－7－4所示，A、B、C三个木块的质量均为m.置于光滑的水平桌面上，B、C之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连．将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B和C紧连，使弹簧不能伸展，以至于B、C可视为一个整体，现A以初速v0沿B、C的连线方向朝B运动，与B相碰并粘合在一起，以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离，已知C离开弹簧后的速度恰为v0.求弹簧释放的势能．例2变式题13mv20【解析】设碰后A、B和C的共同速度的大小为v，由动量守恒得：3mv＝mv0设C离开弹簧时，A、B的速度大小为v1，由动量守恒得：3mv＝2mv1＋mv0设弹簧的弹性势能为Ep，从细线断开到C与弹簧分开的过程中机械能守恒，有12(3m)v2＋Ep＝12(2m)v21＋12mv20由以上各式得弹簧所释放的势能为：Ep＝13mv20►探究点三动量与能量问题的综合应用例3[2011·全国卷]装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击．通过对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因．质量为2m、厚度为2d的钢板静止在水平光滑桌面上．质量为m的子弹以某一速度垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿．现把钢板分成厚度均为d、质量均为m的相同两块，间隔一段距离水平放置，如图2－7－5所示．若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度．设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞．不计重力影响．例32＋34d【解析】设子弹初速度为v0，射入厚度为2d的钢板后，最终钢板和子弹的共同速度为V，由动量守恒得(2m＋m)V＝mv0①解得V＝13v0此过程中动能损失为ΔE＝12mv20－12×3mV2②解得ΔE＝13mv20分成两块钢板后，设子弹穿过第一块钢板时两者的速度分别为v1和V1，由动量守恒得mv1＋mV1＝mv0③因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力，射穿第一块钢板的动能损失为ΔE2，由能量守恒得12mv21＋12mV21＝12mv20－ΔE2④联立①②③④式，且考虑到v1必须大于V1，得v1＝12＋36v0⑤设子弹射入第二块钢板并留在其中后两者的共同速度为V2，由动量守恒得2mV2＝mv1⑥损失的动能为ΔE′＝12mv21－12×2mV22⑦联立①②⑤⑥⑦式得ΔE′＝121＋32×ΔE2⑧因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力，由⑧式可得，射入第二钢板的深度x为x＝121＋32d⑨【点评】本题在子弹打击钢板的过程，由子弹和钢板组成的系统受到了阻力，但比子弹打击钢板的作用力小得多，所以可以认为这个打击过程中动量守恒．子弹与钢板作用过程中有机械能损失，损失的机械能转化为子弹和钢板的内能．[2011·海南卷]一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图2－7－6所示．图中ab为粗糙的水平面，长度为L；bc为一光滑斜面，斜面和水平面通过与ab和bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接．现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h，返回后在到达a点前与物体P相对静止．重力加速度为g.求：(1)木块在ab段受到的摩擦力f；(2)木块最后距a点的距离s.例3变式题1(1)mv20－3gh3L(2)v20－6ghv20－3ghL【解析】(1)设木块和物体P第一次达到的共同速度为v，两物体从开始到第一次到达共同速度过程，由动量和能量守恒得：mv0＝(m＋2m)v12mv20＝12(m＋2m)v2＋mgh＋fL由以上两式得：f＝mv20－3gh3L(2)木块返回后与物体P第二次达到的共同速度与第一次相同(动量守恒)，对全过程应用能量守恒得：12mv20＝12(m＋2m)v2＋f(2L－s)由以上各式得：s＝v20－6ghv20－3ghL如图2－7－7所示，质量mA＝2kg、长L＝1.5m的长木板A静止在光滑的水平面上，在长木板A的右端固定了根轻质弹簧，质量mB＝1kg的小滑块B静止于木板A的右端，质量mC＝2kg的小滑块C以v0＝6m/s的初速度向左运动并压缩弹簧(与弹簧不粘连)，当长木板A达到某一速度时与左侧的挡板碰撞，碰后长木板A立即停止，这时B才开始在A上滑动，它刚好能滑到长木板A的左端，B、C均可视为质点，A、B之间的动摩擦因数为μ＝0.3，g取10m/s2.则：(1)A与挡板碰撞前瞬间的速度vA为多大？(2)在整个过程中，弹簧弹性势能的最大值Em为多少？例3变式题2(1)3m/s(2)22.5J【解析】(1)当小滑块B在A上滑动时，由动能定理得：－μmBgL＝0－12mBv2A解得：vA＝3m/s(2)从小滑块C与弹簧开始接触至A与挡板刚碰撞时，由动量守恒定律得：mCv0＝(mA＋mB)vA＋mCvC解得：vC＝1.5m/s因为vA＞vC，所以，当A与挡板碰撞时，弹簧已在恢复形变，此后C继续压缩弹簧，当C的速度减小到零时，弹簧的弹性势能E1＝12mCv20－12(mA＋mB)v2A解得：E1＝22.5J在A与挡板碰撞前，设当三者共速时，共同的速度为v1，弹簧的弹性势能为E2，由动量守恒定律，得：mCv0＝(mA＋mB＋mC)v1由机械能守恒定律，得：E2＝12mCv20－12(mA＋mB＋mC)v21解得：E2＝21.6J因为E1＝22.5J＞E2＝21.6J所以，弹簧弹性势能的最大值Em＝E1＝22.5J