吉林省东北师大附中2019届高三第二次摸底考试(数学理)

2019学年“拼搏一年·成就梦想”高三年级第二次摸底考试数学（理科）试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分审题人：王艳平王生说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分；考试时间120分钟.注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置.4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合1,3,Ax,21,Bx,1,3,ABx,则满足条件的实数x的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A.①②B.①③C.①④D.②④3.已知角的终边上一点的坐标为22(sin,cos)33,则角的最小正值为（）A.56B.23C.53D.1164．设向量a与b的夹角为，(2,1)a，2(4,5)ab，则cos等于（）A.54B.53C.10103D.10105.已知ABC，O为平面内一点，且设,,OAaOBbOCc，则满足条件()()()abABbcBCcaCA时，O是ABC的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心6．下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（）①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥A.sin()6yxB.sin(2)6yxC.cos(4)3yxD.cos(2)6yx7．已知tan,tan是方程23340xx的两实根，若,(,)22，则（）A.3B.23C.3或23D.3或238．如果函数)(xf对于区间D内任意的nxxx,,,21，有12()()()nfxfxfxn12()nxxxfn成立，称()fx是区间D上的“凸函数”.已知函数sinyx在区间0,上是“凸函数”，则在△ABC中，CBAsinsinsin的最大值是（）A.21B.23C.23D.2339．等差数列}{na的公差为d，前n项和为nS，当首项1a和d变化时，1182aaa是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）A.7SB.8SC.13SD.15S10．ABC的三内角,,ABC所对边的长分别为,,abc设向量(,)pacb,(,)qbaca,若//pq,则角C的大小为（）A.6B.3C.2D.2311．定义在R上的偶函数()fx满足()(2)fxfx，当3,5x时，()24fxx，则（）A.(sin)(cos)66ffB.(sin1)(cos1)ffC.(cos2)(sin2)ffD.22(cos)(sin)33ff12．已知函数2()24(03)fxaxaxa，若12xx，121xxa，则（）A.12()()fxfxB.12()()fxfxC.12()()fxfxD.1()fx与2()fx的大小不能确定第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）13．数列na的前n项和为nS，且111,3,(1,2,3,)nnaaSn，则410logS=；14．已知,都是锐角，且12sin,cos()33，则cos；15.已知0a，设函数120102008()sin(,)20101xxfxxxaa的最大值为M，最小值为N，那么NM；16.下列五种说法：(1)命题“2,13xRxx使得”的否定是“xxRx31,2都有”；(2)若,ab正实数，则“33loglogab”是“1133ab”的必要不充分条件；(3)把函数))(2sin(Rxxy的图像上所有的点向右平移8个单位，即可得到函数))(42sin(Rxxy的图像；(4)若四边形ABCD是平行四边形，则,ABDCBCDA；(5)两个非零向量,ab互相垂直，则222||||()abab.其中正确的说法是（把正确说法的序号填在横线处）三、解答题（本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）已知函数23()2cossin(2)2fxxx.求：（1）函数()fx的最小正周期；（2）函数()fx，0,2x的单调增区间.18．（本题满分12分）已知等差数列na的前n和为(1)2nnnS.记(0)nannbapp，求数列nb的前n项和nT.19．（本题满分12分）在△ABC中，,,abc分别为角,,ABC所对的边，且22()abcbc，（1）求角A；（2）若23BC，角B等于x，周长为y，求函数)(xfy的取值范围20．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知向量(1,2)a，又点(8,0)A，(,)Bnt，(sin,)Ckt(0)2.（1）若ABa，且5ABOA(O为坐标原点)，求向量OB；（2）若向量AC与向量a共线，当4k，且sint取最大值4时，求OAOC.21．（本题满分12分）已知为锐角，且12tan，函数)42sin(2tan)(2xxxf，数列na的首项112a，1()nnafa.（1）求函数)(xf的表达式；（2）求证：nnaa1；（3）求证：*1211112(2,)111nnnNaaa.22．（本题满分12分）已知二次函数2()fxaxbxc和一次函数()gxbx，其中cba,,满足cba，0abc.（1）求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；（2）求证：方程()()0fxgx的两根都小于2；（3）求线段AB在x轴上射影11AB的长的取值范围．2019学年“拼搏一年·成就梦想”高三年级第二次摸底考试数学（理科）试卷参考答案一、选择题（本题共有12小题，每小题5分,共60分）1．C2．D3．D4．A5．B6．D7．B8．D9．C10．B11．C12．A二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）13．914．425915．401816．①③⑤三、解答题（本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：由已知，得()1cos2cos22cos21.fxxxx…………2分（1）最小正周期22T.…………4分（2）令222,()kxkkZ…………6分()2kxkkZ…………7分又02x，2x或322x，…………9分所以原函数的单调递增区间为3,,,222.…………10分18解：等差数列na的前n和为(1)2nnnS1(1)(1)22(2)nnnaSSnnnnnn…………2分又当1n时，111(11)1,12aS，11aS数列na的通项公式为()nannN…………3分由nannbap，得nnbnp.所以23123(1)nnnTpppnpnp，…………4分当1p时，(1)1232nnnTn；…………5分当1p时，23123(1)nnnTpppnpnp234123(1)nnnpTpppnpnp，…………7分23111(1)(1)1nnnnnnpppTpppppnpnpp…9分12(1)(1)1nnnppnpTpp…………10分综上12(1),12(1),1(1)1nnnnnpTppnpppp.…………12分19解：（1）由bccbabccba22222:)(得………1分212cos222bcacbA………3分又A03A………5分（2）,sinsinABCxACxxxBCACsin4sin2332sin3sin………6分2()3CABx，同理：)32sin(4sinsinxCABCAB………7分24sin4sin()2343sin()2336yxxx………9分3A320xB………10分故)65,6(6x，1sin,162x，43,63y.………12分20解：（1）由题得(8,)ABnt.ABa，ABa(8,)(1,2)0nt，……….2分得28nt，则(2,)ABtt.又5ABOA，8OA.22(2)564tt，解得8t.………4分当8t时，24n；当8t时，8n.(24,8)OB或(8,8)OB.………6分（2）由已知(sin8,)ACkt向量AC与向量(1,2)a共线，2sin16tk，………7分2432sin(2sin16)sin2(sin)tkkkk.44,01kk，………8分故当4sink时，sint取最大值4时，有324k，得8k.………10分这时，1sin2，且sin4t，得8t，则(4,8)OC.………11分(8,0)(4,8)32OAOC.………12分21解：（1）1)12(1)12(2tan1tan22tan22………1分又∵为锐角，∴42………2分∴1)42sin(xxxf2)(………3分（2）nnnaaa21∵211a∴naaa,,32都大于0∴02na∴nnaa1………5分（3）nnnnnnnaaaaaaa111)1(11121∴11111nnnaaa………7分∴1322121111111111111nnnaaaaaaaaa1111211nnaaa………9分102.naS………10分∵4321)21(22a,143)43(23a,又∵nnaan12∴131aan∴21211na∴2111111121naaa………12分22解：（1）由bxycbxaxy2，消去y，得022cbxax，………1分accaacb4)(44422]43)2[(422cca………2分cba,ocba0,043,0,02cca两函数的图象交于不同的两点A、B………4分（2）法一：由已知()()0fxgx，即为220axbxc………5分由（1）知0a且上述方程一定有两不等实根12,xx12()xx………6分记2()2hxaxbxc，则120,cxxa102.x………7分又(2)443()30habcabc202.x………8分综上，122,2.xx法二：()()0fxgx的两根为02,022,22121xxxx0)2)(2(0)2()2(2121xxxx而acxxabxx2121,2于是)2()2(21xxabaab)2(242,02,0,cabaacba0)2(2aba0)2()2(21xx，4)(2)2)(2(212121xxxxxx0)(3