2.3.2抛物线的简单几何性质2

2.3.2抛物线的简单几何性质（2）高二数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程复习：1、抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴12、通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔3、焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx请同学自己推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。xOyFA焦点弦：焦点弦长度公式：),(11yx请同学自己推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦长度公式。B),(22yx12pxx方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）例1.斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点,且与抛物线相交于AB、两点,求线段AB的长.ABl想一想这是一道简单，但解法丰富的典型的抛物线问题，你能给出它的几种解法吗？题型一：弦长问题具体步骤由同学们给出.8ABABl法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.解:F(1,0),直线l:y=x-1214yxyx例1.斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点,且与抛物线相交于AB、两点,求线段AB的长.2610yxx消得：1122(,),(,)AxyBxy设12322322xx解得：，12222222y，y221212()()8ABxxyy1法：法2：126xx121xx2212121()4ABkxxxx23648法3：ABAFBF1211xx8126xxABl变1:已知抛物线y2=4x截直线y=x+b所得弦长为4,求b的值.2:4yxbyx解22(24)0yxbxb消得：1122(,),(,)AxyBxy设1242xxb212xxb2212121()4ABkxxxx222(42)44bb12b2:22pyxypx解2220xypyp消得：1122(,),(,)AxyBxy设122yyp212yyp21212211()4AByyyyk212(0)8ypxp变式2：经过焦点且斜率为的直线被抛物线所截得的弦长为，求抛物线方程22848pp2p所求抛物线方程：24yx254AByxABMy变式3：定长为的线段的两端点在抛物线上移动，试求线段中点到轴的最短距离.112200(,),(),(,)AxyBxyABMxy解:设中点bkxylAB:设24ykxbyx2440kyyb124yyk124byyk2211616||15bABkkk由弦长12122yybxxk242bkk022bkxk242216(1)2516(1)kkkk42222516(1)16(1)kkkbkk22212516(1)kkk221251111161kk532142221251121161kkk当且仅当，即时，取等号32ABMy线段中点到轴的最短距离为.由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。因为x轴垂直于AB，且，30AOX例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个三角形的边长。22(0)ypxp解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22即x12-x22+2px1-2px2=0,(X12-x22)+2p(x1-x2)=0,yxo2112,ypx2222ypxAB(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.x10，x20，2p0,x1=x2.所以113tan303yx211,2yxp1123,||243.ypAByp(x1,y1)(x2,y2)题型一：弦长问题练习：已知抛物线顶点在原点,以x轴为对称轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为23，求抛物线的方程。xyOAB333AB由=2,易得A(1,),或A(-1,)223,3.yxyx则：或练习:已知抛物线y2＝4x，设A（2，0），P是抛物线上的点，求︱PA︱的最小值。2,x22解:PA=()+y24yx又2242.xx2则：PA=()+4xmin2.PA=题型一：弦长问题2解:设抛物线方程为:y=mx例3．在抛物线y2=8x上求一点P，使P到焦点F的距离与到Q(4，1)的距离的和最小，并求最小值。xyQ2FOF4P解：知：由xy82，82p4p(20)F此抛物线的焦点坐标是:，2.lx准线方程是:KPlPFd由定义知：.||||PKPF即||||||||PQPKPQPF三点共线时，，，显然，当KPQ.||||有最小值PQPK1(1)8P此时，min(||||)4(2)6.QlPFPQd题型二：抛物线最值问题1:在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。.FxOy00(.)Pxy解：直线与抛物线无交点，设抛物线上一点02064xy则|9164634|00yxd5463400yx代入得：将64200yx546316020yyd)(,804616480020Ryyy2,24min0dy时当另解：与抛物线相切设直线034myx)24,9(P此时23016yym36:0m得由|4636|2169d264430yxxym题型二：抛物线的最值问题练习:已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。FABM解法1：),(),(),,(002211yxMAByxByxA中点设bkxylAB:设2xybkxy02bkxx241||22bkkAB由弦长bxxkyyy)2(221210bk2222141kk41114122kk43411)1(时，取等号当k43min0y41:xylAB此时xoy22114kbk1212,xxkxxb2221214kkk利用弦长公式解题题型二：抛物线的最值问题练习：已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。解法二：),(),(),,(002211yxMAByxByxA中点设xoyFABMCND,2BCADMN,41200yypMNBFBCAFAD,012()4AFBFy2,ABBFAFABF中)41(20yBCAD2|)||(|minBFAF43min0y即利用定义解题题型二：抛物线的最值问题3、AB、是抛物线22(0)ypxp上的两点,满足OAOB(O为坐标原点).求证:⑴AB、两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值;⑵直线AB经过一个定点.解：(1)设A（x1,y1），B（x2,y2），1212,OAOByykkxx∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2221212022yyyypp∵y1≠0，y2≠0∴y1y2=-4p2∴x1x2=4p2题型三：抛物线的定值问题解：⑵∵y12=2px1,y22=2px23、AB、是抛物线22(0)ypxp上的两点,满足OAOB(O为坐标原点).求证:⑴AB、两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值;⑵直线AB经过一个定点.∴1212122yypxxyy∴（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)∴122ABpkyy∴直线AB：11122()pyyxxyy∴11121222pxpxyyyyyy∴21112121222ypxyypxyyyyy∵2211122,4ypxyyp∴2121224pxpyyyyy∴122(2)pyxpyy∴AB过定点（2p,0）.点差法