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│空间中的垂直关系│知识梳理知识梳理1.两条直线互相垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且夹角为,则称这两条直线互相垂直.2.直线与平面垂直(1)定义如果直线a与平面α内的直线都垂直,我们就说直线a与平面α互相垂直,记作a⊥α.直线a叫做平面α的,平面α叫做直线a的,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做.直角任意一条垂线垂面垂足(2)直线和平面所成的角一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的,斜线和平面的交点A叫做.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的.平面的一条斜线和它在这个平面上的射影所成的,叫做.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角为;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是的角.直线和平面所成角的范围是.│知识梳理斜足斜线射影锐角这条直线和这个平面所成的角直角0°20,(3)直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的直线都垂直,则该直线与此平面垂直.符号表示为(4)直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.符号表示为.lObabablal.//baba│知识梳理两条相交3.平面与平面垂直(1)二面角和二面角的平面角的定义①从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB、面分别为α,β的二面角记作二面角,如果棱为l,那么这个二面角记作.②在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的.│知识梳理二面角α-AB-βα-l-β平面角二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.二面角的取值范围是[0,π].平面角是直角的二面角叫做.(2)平面与平面垂直的定义一般的,两个平面α和β相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.记做α⊥β.(3)平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的,则这两个平面垂直.符号表示为.aa│知识梳理直二面角直二面角垂线│知识梳理.laala(4)平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直,则一个平面内直线与另一个平面垂直.符号表示为垂直于交线的探究点1线面垂直的证明│要点探究要点探究例1Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点,如图39-1所示.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.│要点探究【思路】(1)要证线面垂直,就要利用判定定理.(2)利用判定定理,证明BD与平面SAC内的两条相交的直线都垂直来解决问题.【解答】(1)取AB中点E,连接SE,DE.在Rt△ABC中,D、E分别为AC、AB的中点,故DE∥BC,且DE⊥AB,∵SA=SB,∴△SAB为等腰三角形,∴SE⊥AB.∵DE⊥AB,SE∩DE=E,∴AB⊥面SDE.│要点探究而SD面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.又∵SD⊥AB,AC∩AB=A,∴SD⊥平面ABC.│要点探究(2)若AB=BC,则BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥面ABC,而BD面ABC,∴SD⊥BD.∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.【点评】线面垂直就是证明直线与平面内两条相交直线垂直,本题利用等腰三角形来证明线线垂直,进而证明线面垂直.证明线线垂直还可以利用勾股定理,菱形的对角线互相垂直,直径所对的圆周角是直角及线面垂直的性质等方法,如变式题:│要点探究变式题如图39-3所示,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,AE⊥PC于E,求证:AE⊥平面PBC.│要点探究【思路】在平面PBC内寻找两条相交直线与AE垂直.【解答】设⊙O所在平面为α,由已知条件知PA⊥α,而BC在α内,所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A,B的任意一点,AB是⊙O的直径,所以∠BCA是直角,即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线,所以BC⊥平面PAC,故BC⊥AE.又AE⊥PC,PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC.探究点2线面垂直的证明│要点探究例2[2009·北京卷]如图39-4所示,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;(2)当PD=AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.2│要点探究【思路】由题目条件可证明AC⊥平面PDB,从而利用面面垂直的判定定理证明.【解答】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,∴平面AEC⊥平面PDB.│要点探究(2)设AC交BD于点O,连接OE.由(1)知AC⊥平面PDB于O,∴∠AEO为AE与平面PDB所的角.∵O,E分别为DB、PB的中点,∴OE∥PD,OE=PD,又∵PD⊥底面ABCD,∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO.在Rt△AOE中,OE=PD=AB=AO,∴∠AEO=45°,即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.212122│要点探究【点评】证明两平面垂直的方法主要有以下两种:(1)利用定义,证明两平面所成的二面角是直二面角;(2)利用判定定理,证明一个面内的一条直线垂直于另一个平面.探究点3面面垂直的性质的应用│要点探究例3[2009·福建卷]如图39-6所示,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4,将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EDB⊥平面ABD.(1)求证:AB⊥DE;(2)求三棱锥E-ABD的侧面积.│要点探究【思路】(1)利用面面垂直的性质定理得到线面垂直,进而证明线线垂直;(2)先分别求三个侧面的面积,再求和.【解答】(1)在△ABD中,∵AB=2,AD=4,∠DAB=60°,∴BD=∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥DB.又∵平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB平面ABD,∴AB⊥平面EBD,∵DE平面EBD,∴AB⊥DE.32cosA2AB-ADAB22DABD│要点探究(2)由(1)知,AB⊥AB,CD∥AB,从而CD⊥BD,即DE⊥BD.在Rt△DBE中,∵DB=,DE=DC=AB=2,∴S△DBE=DB·DE=.又∵AB⊥平面EBD,BE平面EBD,∴AB⊥BE,∵BE=BC=AD=4,∴S△ABE=AB·BE=4.32322121│要点探究∵DE⊥BD,平面EBD⊥平面ABD,∴ED⊥平面ABD,而AD平面ABD,∴ED⊥AD,∴S△ADE=AD·DE=4.综上所述,三棱锥E-ABD的侧面积S=8+.3221【点评】已知面面垂直时,最常用的辅助线就是在一个面内作交线的垂线,进而把面面垂直的条件转化为线面垂直,进一步可得到很多线线垂直关系,可以证明也可以计算.如下变式题:│要点探究变式题已知在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且λ(0λ1).(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?ADAFACAE│要点探究【解答】(1)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,∵CD⊥BC且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.又∵λ(0λ1),∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,∵EF平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.ADAFACAE│要点探究(2)由(1)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,∴BD=,AB=tan60°=,∴AC=由AB2=AE·AC得AE=,∴λ==,故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD.226,7BCAB22ACAE767676探究点4线面角和二面角的求法│要点探究例4[2009·北京卷]如图38-8所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值;(3)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角?并说明理由.│要点探究【思路】先利用定义构造线面角和二面角的平面角,然后解直角三角形可得线面角,也可确定存在点E使二面角为直二面角.【解答】(1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又∠BCA=90°,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.(2)∵D为PB的中点,DE∥BC,∴DE=BC,21│要点探究又由(1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形,∴AD=AB,∵∠ABC=60°,∴BC=AB.∴在Rt△ADE中,sin∠DAE===,∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是222142ADDEADBC2│要点探究(3)∵DE∥BC,又由(1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角,∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时∠AEP=90°,故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角.│要点探究【点评】几何法求线面角和二面角的关键是作出(或证出)相应的平面角,主要是利用定义法,然后解直角三角形或解斜三角形得解.同时步骤中要特别指明所作或所证的角是所求的角.本例中斜线的射影已知,可以直接得到线面角,否则就要先从斜线上某一点向平面作垂线,确定射影再连成线面角,如变式题:│要点探究变式题[2009·北京崇文区模拟]已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AB=AD=1,DD1=CD=2,AB⊥AD.(1)求证:BC⊥面D1DB;(2)求D1B与平面D1DCC1所成角的正切值.│要点探究│要点探究│规律总结规律总结1.证明直线和平面垂直,主要依据就是线面垂直的判定定理,另外由面面垂直也可得到线面垂直.2.证明平面和平面垂直,主要依据就是面面垂直的判定定理,.3.由线面垂直、面面垂直都可得到线线垂直,证明两线垂直除此之外还有满足勾股定理(异面直线所成角为90°)、等腰三角形的底边中线即高等方法.4.线线垂直、线面垂直、面面垂直它们之间的相互转化,体现了化归与转化的思想和普遍联系的观点,解题时要有意识地去应用.
本文标题:高考数学一轮单元复习:第38讲_空间中的垂直关系
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