圆锥曲线分类讲义之――向量问题

圆锥曲线的向量问题【例1】已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率为,21以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线06yx相切。（I）求椭圆C的方程；（II）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴交于定点Q；（III）在（II）条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求ONOM的取值范围。【例2】在直角坐标系xOy中，椭圆C1：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为F1、F2.其中F2也是抛物线C2：24yx的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且25||3MF.（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足12MNMFMF，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若OA·OB=0，求直线l的方程.【例3】已知椭圆)0(12222babyax的离心率为.36（I）若原点到直线0byx的距离为,2求椭圆的方程；（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45的直线l和椭圆交于A，B两点.（i）当3||AB，求b的值；（ii）对于椭圆上任一点M，若OBOAOM，求实数,满足的关系式.练习：已知椭圆22221(0)xyabab的长轴长为4，且点3(1,)2在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于,AB两点，若以AB为直径的圆过原点，求直线l方程．【例4】已知椭圆22221xyab（ab0）的离心率32e，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，点A的坐标为（a，0）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若42||5AB，求直线l的倾斜角；(Ⅲ)若点Q0(0,)y在线段AB的垂直平分线上，且4QBQA，求0y的值．【例5】已知点(4,0)M，(1,0)N，若动点P满足6||MNMPPN．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若181275NANB≤≤，求直线l的斜率的取值范围.练习：已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为21，且经过点)23,1(M，过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存直线l，满足2PMPBPA？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【与平行四边形有关的向量问题】1、已知点M（-1，0），N（1，0），动点P（x，y）满足：|PM|•|PN|=（1）求P的轨迹C的方程；（2）是否存在过点N（1，0）的直线l与曲线C相交于A、B两点，并且曲线C存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。41+cos∠MPN2．已知椭圆C:1222yx的左、右焦点分别为F1，F2,O为原点.(I)如图①，点M为椭圆C上的一点，N是MF1的中点，且NF2丄MF1,求点M到y轴的距离；(II)如图②，直线l:y=kx+m与椭圆C上相交于P,Q两点，若在椭圆C上存在点R,使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围.3、已知椭圆19422yx上任一点P，由点P向x轴作垂线段QP，垂足为Q，点M在QP上，且2PMMQ，点M的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；[来源:学|科|网Z|X|X|K]（Ⅱ）过点)2,0(D作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点)174,0(且平行于x轴的直线上一动点，满足ONOAOB（O为原点），且四边形OANB为矩形，求出直线l的方程．附加参考题（2014，湖北，21）在平面直角坐标系xOy中，点M到点1,0F的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C.(1)求轨迹为C的方程(2)设斜率为k的直线l过定点2,1p，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。