椭圆的参数方程(公开课)

第二章参数方程椭圆的参数方程第二章参数方程复习回顾1.圆的参数方程是什么?圆x2+y2=r2(r0)的参数方程:)(sinycos为参数rrx圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:)(sinycos为参数rbrax问题:你能仿此推导出椭圆的参数方程吗？12222byax其中参数的几何意义为:∠AOP=θ2.圆参数的几何意义是什么?xyOPAθθ为圆心角第二章参数方程问题:你能仿此推导出椭圆的参数方程吗？12222byax12222byax122byaxsincosbyax令)(sincos为参数byax是焦点在X轴的椭圆的参数方程第二章参数方程问题:你能仿此推导出椭圆的参数方程吗？12222aybx12222aybx122aybxsincosaybx令)(sincos为参数aybx是焦点在Y轴的椭圆的参数方程第二章参数方程1.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab2.称为离心角,规定参数的取值范围是[0,2)φOAMxyNB注意：3.是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.第二章参数方程练习1：把下列普通方程化为参数方程.22149xy(1)8cos10sinxy(2)把下列参数方程化为普通方程2264100(2)1yx)(sin3cos2)1(为参数yx第二章参数方程例1.在椭圆上求一点P,使P到直线的距离最小.8822yx04:yxlxylO2|4)cos(3|解法一：)sin,cos22(P设2|4sincos22|dP则点到直线距离.31sin,322cos，其中此时,22coscos()cos,31sinsin()sin,3).31,38(P点的坐标1)cos(22当即时，d取最小值.第二章参数方程解法二:把直线平移至,与椭圆相切,此时的切点就是最短距离时的点.l'l'lP'lxylOP082922mmyy0)8(94422mm3m88022yxmyx由3mP04:yxl)31,38(P由图形可知：时到直线的距离最小,此时.0:'myxl即设第二章参数方程变式1:22194xy己知M(x,y)是椭圆任一点，求的取值范围________.2uxy变式2、已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。22110064xy变式3:已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.22941yx第二章参数方程变式2、已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。22110064xy:10cos,8sinA解设20cos,16sin2016sincos160sin2ADABS,ABCD160所以矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX第二章参数方程变式3:已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.22941yx:,ABCABP解椭圆参数方程设点P(3cos,2sin)S面积一定需求S最大即可264132212360|cossin6|2sin()23,,yxPABxyddP3322即求点到线的距离最大值线AB的方程为66所以当=时有最大值面积最大4这时点的坐标为(,2)第二章参数方程（1）椭圆的参数方程,特别注意参数的几何意义；（2）椭圆的参数方程在求最值，范围问题上有其优越性；知识点小结当焦点在X轴时当焦点在Y轴时)(sinycos为参数bax)(sinycos为参数abx第二章参数方程例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.问题：1.如何求点的轨迹。2.点M的坐标与A,B两点的坐标关系3.怎样引进参数使A、B的坐标建立联系.OAMxyNB第二章参数方程例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.设∠XOA=φOAMxyNB第二章参数方程例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.OAMxyNB解：设∠XOA=φ,M(x,y),则A:(acosφ,asinφ),B:(bcosφ,bsinφ),由已知:即为点M的轨迹参数方程.sinbycosax)(为参数消去参数得:,bya12222x即为点M的轨迹普通方程.第二章参数方程练习41、动点P(x,y)在曲线上变化，求2x+3y的最大值和最小值14922yx.,2626最小值最大值2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是.A.圆B.椭圆C.直线D.线段B设中点M(x,y)x=2sinθ-2cosθy=3cosθ+3sinθ29422yx