0多元微积分自由探索

多元微积分自由探索——谨以本文献给我的师姐黄慧敏杨科中国平安保险公司四川分公司,四川成都(610041)E-mail:[e-mail]摘要：在球面坐标系,闭合参数曲面积分和三重积分的计算方法已经固有---以Ostrogradskii-Gauss公式为理论依据和验证准绳[非闭合参数曲面,可运用Stokes公式],将曲面积分和三重积分推广到任意参数曲面坐标系,实现任意参数曲面积分和任意空间区域三重积分;同样,在极坐标系,闭合参数曲线积分和二重积分的计算方法也已经固有---以Green公式为理论依据和验证准绳,将二重积分推广到任意平面坐标系,实现任意平面区域二重积分.关键词：向量场数量场任意参数曲面积分任意空间区域三重积分任意平面区域二重积分自由平面积自由体积自由曲面积中图分类号：O17引言通用数学分析教材所涉及的第一型曲面积分[即数量场曲面积分]和第二型曲面积分[即向量场曲面积分]的计算,多是采用投影法,其基本思路是将空间区域中的曲面积分,转化为某一坐标平面上的二重积分,以间接的方式达到目的[1][2].A..第一型曲面积分[即数量场曲面积分]演示[Maple格式,以后相同]:[3]restart;#内存清空with(plots):#加载绘图工具库CS:=x+y^2-z;#设定积分曲面函数表达式:=CSxy2zCSx:=[0,1];:=CSx[],01CSy:=[0,2];:=CSy[],02CSz:=[0,5];#设定积分曲面有界区域:=CSz[],05implicitplot3d(CS,x=CSx[1]..CSx[2],y=CSy[1]..CSy[2],z=CSz[1]..CSz[2]);g1:=%:#积分曲面作图图1[引言部分]函数型积分曲面M3VF:=y;#设定数量场[三元函数]:=M3VFyimplicitplot3d(M3VF,x=CSx[1]..CSx[2],y=CSy[1]..CSy[2],z=CSz[1]..CSz[2],color=cyan);g2:=%:#数量场[三元函数]作图图2[引言部分]数量场[三元函数]等值面display(g1,g2);#图形合并,得到数量场和积分曲面的空间直观图3[引言部分]函数型积分曲面和数量场[三元函数]等值面Int(Int(M3VF*sqrt(1+(Diff(CS,x))^2+(Diff(CS,y))^2),x=CSx[1]..CSx[2]),y=CSy[1]..CSy[2]);#投影,计算二维面元并与三元函数求积,再计算'xy平面'的二重积分d02d01y1x()xy2z2y()xy2z2xyvalue(%);1323B.第二型曲面积分[即向量场曲面积分]演示:[3]restart;#内存清空with(plots):#加载绘图工具库CS:=x^2+y^2-z;#设定积分曲面函数表达式:=CSx2y2zCSx:=[0,1];:=CSx[],01CSy:=[0,1];:=CSy[],01CSz:=[0,1];#设定积分曲面坐标区域:=CSz[],01implicitplot3d(CS,x=CSx[1]..CSx[2],y=CSy[1]..CSy[2],z=CSz[1]..CSz[2]);g1:=%:#积分曲面作图图4[引言部分]函数型积分曲面V3F:=[exp(y),y*exp(x),x^2*y];#定义向量场:=V3F[],,eyyexx2yfieldplot3d(V3F,x=CSx[1]..CSx[2],y=CSy[1]..CSy[2],z=CSz[1]..CSz[2],arrows=SLIM)：g2:=%:#向量场作图display(g1,g2);#图形合并,得到向量场和积分曲面的空间直观图5[引言部分]函数型积分曲面和积分向量场Int(Int(V3F[1]*(-Diff(CS,x))+V3F[2]*(-Diff(CS,y))+V3F[3],x=CSx[1]..CSx[2]),y=CSy[1]..CSy[2]);#将曲面积分转化为'xy平面'上的二重积分d01d01eyx()x2y2zyexy()x2y2zx2yxyvalue(%);11653eC.这是一被通用数学教材普遍采用的例证:[3]restart;with(plots):with(linalg):implicitplot3d({x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1},x=0..1,y=0..1,z=0..1);g1:=%:#定义和绘制积分曲面图6[引言部分]正方体外观的积分’曲面’fieldplot3d([x*y,y*z,x*z],x=0..1,y=0..1,z=0..1,arrows=SLIM,color=black):g2:=%:#定义和绘制被积分向量场[x*y,y*z,x*z]display(g1,g2);#合并图形图7[引言部分]正方体的积分’曲面’和积分向量场diverge([x*y,y*z,x*z],[x,y,z]);#求被积分向量场散度yzxInt(Int(Int(y+z+x,x=0..1),y=0..1),z=0..1);#利用Ostrogradskii-Gauss公式,通过求被积分向量场[x*y,y*z,x*z]的散度y+z+x在特定空间区域的三重积分的方式,间接求得该向量场[x*y,y*z,x*z]在目标曲面上的积分d01d01d01yzxxyzvalue(%);32投影法的缺陷是明显的:第一,积分曲面在任一坐标平面的投影区域不能有重迭,这就决定了积分曲面只能是非常简单的函数曲面;在现实世界和工程领域更为普遍存在复杂参数曲面,投影法则无能为力;第二,投影法通常要求积分曲面具有某种对称性,计算诸如以三维坐标原点为中心的圆球体上侧.下侧.左侧.右侧曲面类型的简单曲面积分,再乘以某一常数,得到整个曲面的积分值;在现实世界和工程领域更为普遍存在的不对称.不规则曲面,投影法计算非常繁琐,甚至不能计算;第三,因不同积分曲面的差异,投影的方向,投影的次数千差万别[尤其是分面投影法].有100道题,就可能有100种投影方案.计算过程不可能标准化模块化,不利电子计算机编程;第四,不论积分曲面复杂程度,投影法实际计算过程普遍繁琐;第五,更为重要的是,在数学分析领域中至关重要的Ostrogradskii-Gauss公式,Stokes公式[在某种意义上也包括Green公式],投影法几乎没有直接计算例证[即使有,也是极个别的特例,没有代表性,如上例正方体外观的积分'曲面'][3].通用数学分析教材的写法是:先用符号逻辑推理的方法证明了这三大公式的存在,然后是如何应用这三大公式简化计算;非常遗憾的是,没有这三大公式的丰富多彩绚丽的直接计算例证.在通用数学分析教材中,有球面坐标系向量场参数曲面积分[即空间向量场与球面的切平面法向量的点积在参数变化区间内的积分],球体空间区域三重积分[即通过三阶Jaccobi行列式变量变换],极坐标系平面区域二重积分[即通过二阶Jaccobi行列式变量变换]等计算方法.[3]如下演示:D.通用数学分析教材中,球面坐标系向量场参数曲面积分:restart;#内存清空with(plots):with(linalg):#加载绘图工具库和线性代数分析库CS:=[sin(u)*cos(v),sin(u)*sin(v),cos(u)];#定义参数球面CS:=CS[],,()sinu()cosv()sinu()sinv()cosurgu:=[0,Pi];:=rgu[],0rgv:=[0,2*Pi];#定义参数u,v取值范围:=rgv[],02plot3d(CS,u=rgu[1]..rgu[2],v=rgv[1]..rgv[2],numpoints=2000);g1:=%:图1[引言部分]参数球面V:=[z,y,x];#定义积分向量场V:=V[],,zyxrgx:=[-1,1];:=rgx[],-11rgy:=[-1,1];:=rgy[],-11rgz:=[-1,1];#定义作图范围:=rgz[],-11g2:=fieldplot3d(V,x=rgx[1]..rgx[2],y=rgy[1]..rgy[2],z=rgz[1]..rgz[2],arrows=SLIM):#积分向量场V作图display(g1,g2);图2[引言部分]参数球面和积分向量场x:=CS[1]:y:=CS[2]:z:=CS[3]:#将球面CS的参数表达式赋值于变量x,y,zmatrix(3,3,[i,j,k,Diff(x,u),Diff(y,u),Diff(z,u),Diff(x,v),Diff(y,v),Diff(z,v)])=matrix(3,3,[i,j,k,diff(x,u),diff(y,u),diff(z,u),diff(x,v),diff(y,v),diff(z,v)]);m:=rhs(%);#定义偏导数矩阵m,其目的,是计算球面CS的切平面法向量ijku()()sinu()cosvu()()sinu()sinvddu()cosuv()()sinu()cosvv()()sinu()sinvv()cosuijk()cosu()cosv()cosu()sinv()sinu()sinu()sinv()sinu()cosv0:=mijk()cosu()cosv()cosu()sinv()sinu()sinu()sinv()sinu()cosv0det(m);#矩阵m求值i()sinu2()cosv()cosu()cosv2k()sinu()sinu2()sinvj()sinu()sinv2k()cosumn:=simplify(%);#表达式化简:=mn()sinu()i()sinu()cosv()sinu()sinvjk()cosuA:=coeff(mn,i);#提取i项系数:=A()sinu2()cosvB:=coeff(mn,j);#提取j项系数:=B()sinu2()sinvC:=coeff(mn,k);#提取k项系数,[A,B,C]构成切平面法向量:=C()sinu()cosuInt(Int(V[1]*A+V[2]*B+V[3]*C,u=rgu[1]..rgu[2]),v=rgv[1]..rgv[2]);#向量场V与切平面法向量[A,B,C]的空间点积在参数u,v取值范围内积分d02d02()cosu()sinu2()cosv()sinu3()sinv2uvvalue(%);43evalf(%);4.188790204[P388-389][3]E.通用数学分析教材中,球体空间区域数量场[三元函数]三重积分[3]:restart;with(plots):with(linalg):CS:=[sin(u)*cos(v),sin(u)*sin(v),cos(u)];#定义参数球面CS:=CS[],,()sinu()cosv()sinu()sinv()cosurgu:=[0,Pi];:=rgu[],0rgv:=[0,2*Pi];:=rgv[],02plot3d(CS,u=rgu[1]..rgu[2],v=rgv[1]..rgv[2],numpoints=2000);g1:=%:图3[引言部分]参数球面M3VF:=x^2-y*z;#定义积分数量场[三元函数]M3VF:=M3VFx2