初中数学竞赛辅导资料(53)条件等式的证明甲内容提要1.恒等式:如果等式中所含的字母在允许值范围内,用任何实数值代替它,等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式.例如:①a+b=b+a,②(a+b)2=a2+2ab+b2,③x-x4=xx42(x≠0),④(a)2=a(在实数范围内a≥0),⑤nna=a(在实数范围内n为正奇数).都是恒等式.只含常数的等式是恒等式的特例.如:3-2=1,32321.2.条件等式:满足一定条件下的等式,称为条件等式.方程是条件等式,解方程就是求出能满足等式的条件(未知数的值).3.证明条件等式就是在题设的条件下,判断恒等式.4.证明条件等式的方法,除和证明恒等式的一般方法(见第20讲)以外,要特别注意如何把已知的条件用上.一般有以下几种:①用已知的条件直接代入(即等量代换).②变形后代入(包括把已知变形,或把结论变形).③引入参数后代入(包括换元).5.分式,根式在恒等变形时,要注意字母保持允许值的范围不变.乙例题例1.已知:azyx,bxzy,cyxz且x+y+z≠0.求证:1111ccbbaa.分析:①设法化为同分母,②轮换式可先代入一式,其余的可用同型式③用已知直接代入.证明:∵zyxxzyxzyxaa11.根据轮换式的性质,得∴ccbbaa111=1zyxzzyxyzyxx.例2.已知:cbacba1111.求证:12121212)(1111nnnncbacba(n是整数).分析:先把已知变形,找出a,b,c之间的关系.证明:由已知,去分母,得bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc.(a+b+c)(bc+ac)+ab(a+b)=0.(a+b)(b+c)(c+a)=0.∴a=-b,或b=-c,或c=-a.∵n是整数,∴2n+1是奇数.当a=-b时,左边=12121212111)(1nnnnccbb;右边=12)(1ncbb=121nc.即a=-b时,等式成立.同理可证:当b=-c和c=-a时,等式也成立.∴12121212)(1111nnnncbacba(n为整数).例3.已知:ax3=by3=cz3,1111zyx.求证:3222czbyax333cba.证明:设ax3=by3=cz3=k.(引入参数)那么ax2=xk,by2=yk,cz2=zk.代入左边,得:左边=333)111(kzyxkzkykxk;而且a=3xk,b=3yk,c=3zk.代入右边,得:右边=333333zkykxk(zyx111)3k=3k.∴3222czbyax333cba.例4.已知:abc≠0,方程(ac-bc)x2+(bc-ab)x+(ab-ac)=0有两个相等实根.求证:bcab1111分析:要等式bcab1111成立,必须且只须ac-bc=ab-ac.证明:∵方程有两个相等的实数根,∴△=0.即(bc-ab)2-4(ac-bc)(ab-ac)=0.(bc-ab+ac-ac)2+4(bc-ac)(ab-ac)=0,(添项ac-ac)[(bc-ac)-(ab-ac)]2+4(bc-ac)(ab-ac)=0.∴[(bc-ac)+(ab-ac)]2=0.∴bc-ac+ab-ac=0.∴ac-bc=ab-ac.∵abc≠0,两边都除以abc,得,bcab1111.例5.已知:a+accbb111,a≠b≠c.求证:a2b2c2=1.证明:由已知a-b=bc11=bccb,∵a≠b,即a-b≠0,∴bc=bacb.根据轮换式性质,得同型式:ca=cbac,ab=acba.∴ab×bc×ca=acba×bacb×cbac.∴a2b2c2=1.丙练习531.已知:abc=1.求证:1111ccacbbcbaaba2.已知:x=baba,y=cbcb,z=acac.求证:(1+x)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-z).3.已知:(ay-bx)2+(bz-cy)2+(cx-az)2=0.求证:czbyax.4.已知:cbba.求证:(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c).5.已知:zxycyzxbxyza222.求证:a+b+c=0.6.已知:bbacaacbccba,a+b+c≠0.求证:8))()((abcaccbba.7.已知:1949x2=1988y2且111yx,x0,y0.求证:1988194919881949yx.8.已知:x=abba2,且a0,b0.求证:baxxbaxa)1)((1222.9.已知:x=122bab(a0,0b1).求证:bxaxaxaxa1.10.求证:321420+321420=411.已知:azyx,bxzy,cyxz.求证:1111ccbbaa.12.已知:a+b+c=0,a2+b2+c2=0,a3+b3+c3=0.求证:a4+b4+c4=0.练习53答案1.化为同分母ab+a+1,并设为k,则bc+b+1=ak,ca+c+1=ck.6.由已知得,kbacacbcba,则k=28.由已知得,1+x2=abba4)(2,注意a+b0,ab09.把左边分母有理化10.左边被开方数配方(a+2)2b可得a=2,b=14.用反比,合比.12.0.