平面向量的坐标运算及共线坐标表示

2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示复习引入如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使1122aee12,12,eea对于确定的一组基底,平面内的任一向量会和一对实数对应平面向量基本定理平面向量的坐标表示Oxy平面内的任一向量,有且只有一对实数x,y,使成立aaxiyj则称（x，y）是向量的坐标aji如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向同向的两个单位向量作基底.ij、记作：(,)axyaaajyxOiaA1AA2bcd例1用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.jiAAAAa3221解：(2,3)a)3,2(32jib)3,2(32jic)3,2(32jid(4)如图以原点O为起点作，点A的位置被唯一确定.aOAaOxy1212abxxyy且平面向量的坐标表示aaji(x,y)A此时点A的坐标即为的坐标a（5）区别点的坐标和向量坐标相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同(2)0(1,0)0(0,1)0(0,0)iijjij（1）与相等的向量的坐标均为（x,y)a注意：（3）两个向量相等的充要条件：1122(,),(,)axybxy(6)22axy平面向量的坐标运算解：两个向量的和（差）的坐标分别等于这两向量相应坐标的和（差）1.已知，，求,11(,)axy22(,)bxyabab1122()()abxiyjxiyj1212()()xxiyyj1212(,)abxxyy1212(,)abxxyy同理可得：2．已知．求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：ABOBOA2211(,)(,)xyxy),(1212yyxx一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标．(,)xya3(,),.axyRa、已知=和求平面向量的坐标运算a=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→4、其中≠,a→0→有且只有一个实数λ，使得a→b=λ→即：（x2,y2)=λ(x1,y1)=(λx1,λy1)所以x2=λx1y2=λy1消去λ得：x1y2-x2y1=0a=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→其中x1y2-x2y1=0a∥→b→∥a∥→b→(0)a平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的两种表示形式:x1y2-x2y1=0(2)ab(a0)a=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→有且只有一个实数λ,使得a→b=λ→(1)ab(a0)∥∥2=(2,1),=(-3,4),-3+4abababab例、已知求，，的坐标.例3．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．ABCDxyO解：设点D的坐标为(x,y)(1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4)ABDCxyxyABDC且(1,2)(3,4)xyyx423122yx2,2D例3已知a=（4，2）,b=（6，y）且a∥b，求y的值.解：∵a∥b∴4y-2×6=0解得y=3典型例题变：若向量与共线且方向相同,求x.),,1(xa)2,(xb例4已知点A(1，3)，B(3，13)，C(6，28)求证：A、B、C三点共线.证明：∵AB=(3-1,13-3)=(2,10)BC=(6-3,28-13)=(3,15)∴2×25=5×10∴AB∥BC又∵直线AB、直线BC有公共点B∴A、B、C三点共线典型例题例5.已知向量,其中分别是x轴,y轴正方向上的单位向量.试确定m的值,使A、B、C三点共线。2,ABijBCimj,ij典型例题解:由已知得(1,2),(1,)ABBCm要使A、B、C三点共线，只须ABBC即1×m-(-2)=0∴m=-2∥1122332ABCAx,y),Bx,y),CGCx,y),DABGCD2.GDG.例如图，三个顶点的坐标为（（（是的中点，是上一点，且求点的坐标ABCDGD1212x+xy+y的坐标是（，）2222CGCGGDGD33（x，y）1212x+xy+y（，）22,xy（）33xyG1212x+xy+y的坐标是（，）33重心坐标公式中点坐标公式结论：演练：1(6,1),(,),(2,3),.(4,2).(4,2).(4,2).(4,2)BCxyCDADAxyBxyCxyDxy、已知向量AB那么B2.已知点A(2，3)、B（5，4）、C（7，10），若，试求λ为何值时，点P在第三象限内？()APABACR3.已知a=（2，-3）,b=（4，x2-5x）且a∥b，求x的值.解：∵a∥b∴2×(x2-5x)-(-3)×4=0即x2-5x+6=0解得x=2或x=3演练：5.已知A、B、C三点的坐标分别为(-1,0)(3,-1)、(1,2),并且AE=AC,BF=BC,求证：EF∥AB1313演练：4.已知向量a=(1,2),求与它共线的单位向量1、引进向量会坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化到了我们熟悉的领域之中；小结2、要把点坐标(x,y)与向量坐标相区分，两者不是一个概念。作业P-1004,5,6,7