运动的质量

大学物理力学——第四篇：运动的质量清华大学电子工程系无13班蔡杨导论：做功和能量是力学研究中的一个永恒的主题。从功能原理，到动能定理，到机械能守恒，到能量守恒，似乎已经成为了我们我学习力学的一贯路径。但是本文毕竟不是正版教材，因此不会按常规套路出牌。我们将从不同于上述套路的几个方面来讨论功和能量。由于我们以前主要是以地作为参考系，而且只研究单个质点，对于非惯性系和质点系统的认识还不够。本文将主要从这几个方面展开。首先介绍几个定义：（1）保守力和耗散力（或称非保守力）：保守力：做功和路径无关，只与始末位置有关的力叫做保守力。保守力都有其对应的势能。如：重力，静电场力等。耗散力：做功和路径有关，而且通常伴随的是系统能量的减少（耗散）的力称为耗散力。耗散力无所谓势能。如：摩擦力。（2）质心系：与一个质点系统的质心固连的参考系叫做质心系。质心系威力之巨大，令人发指。许多力学问题在地面系中无从下手，但在质心系中，只在弹指一笑之间。（它是个零动量参考系，即在此参考系中观测到的系统的总动量为0）（3）内力和外力：内力：系统内部的成员之间的相互作用称为内力。外力：系统内部成员以外的质元对系统内部成员的作用力称为外力。（4）恢复系数：实际物体都不是完美的刚体。两物体碰撞后的相对速度一般都比碰前要小。碰后速度同碰前速度的比值称为恢复系数。其次给出几个基本定理：（1）非惯性系的功能原理：地参考系中的功能原理：EWW内非保外一个质点系，以地为参考系：外界对系统所做的功=系统能量的变化。非惯性系中的功能原理：保守惯性力内非保惯性力内非保外pEE由于我们研究范围暂不涉及其他能量，因此右侧的E特指机械能。（2）*质点系的动能定理（和《教程》不一样）：假设一个质点系有n个质点，对其中的第i个质点用动能定理：kijiijiidErdfdW外将系统内的所有质点的方程加起来，得到：kjijijidErdrdfdW)(外即：在某个过程中，外力对系统所做的功和内力所做的功的和=质点系统总的动能的变化。（这个讨论和《教程》不一样，仅作参考，如有谬误，请付之一笑）（3）非惯性系中的动能定理：加个惯性力以后就和我们经常说的动能定理一样了。（真实力+惯性力）对质点所做的功=质点动能的变化（4）质点系的柯尼希定理（描述质点系在地参考系中的动能和在质心系中的动能的关系）：注：下式中kE表示对地动能，'kE表示对质心系动能。v表示对地速度，'v表示对质心系速度，cv表示质心的速度。im为第i个质点的质量，M为整个系统的总质量。n表示质心系的质元个数。021)'('2121)'(2121'2112121212kcniciiniiiniciniiciniiikEMvvvmvmvmvvmvmE上式利用了一个结论：质心系是零动量参考系，0)'(1niciivvm即得到：2'21ckkMvEE（5）瞬时的巨大作用（碰撞和爆炸）：通常认为此过程动量守恒，能量不守恒（但是有个恢复系数e）。大家通常习惯于列两个方程：动量守恒+能量关系。实际上这里面蕴含了一个重大的秘密：上面那个二次方程组，不好解，我们可以写作一个BAm2C格式，但不用去解它。上面的方程组在物理意义上等价于：㈠动量守恒㈡远离速度=e接近速度很多人不禁会问，二次方程组应该有两组解，怎么会等价于两个线性方程呢。我想反问一句，每次做这种题解出来俩解，你的答案一般是一个呢？还是两个呢？那就让我们进入魔幻的能量题海吧：.1eg(每次都能看到这一题)两个等高的小定滑轮相距为2m，物块A和B的质量都是1kg，物块C的质量为1.9kg。初始时两滑轮间的细绳水平，系统静止。假设绳和滑轮的质量均不计，且不计滑轮轴上的摩擦。当C下降0.75m时，试问：（1）A、B、C的速度分别是多少。（2）A、B、C的加速度分别是多少。解答：本题很多辅导材料上都有，但有很多都是解错的。错误的原因一般都在于：他们认为第二小问答案是0。下面将证明这是不对的。在题文中研究的时刻，易得以下几何关系：,34tan,53cos,54sin(1)思路：一个机械能守恒就解决问题了。注意二者的速度关系即可。中间物块沿绳方向的分速度等于旁边物块的速度。然后就是势能减少量=动能增加量所求A、B、C的速度分别记作vuu、、，有机械能守恒：2221)21(2)]sin([2vmumllgmghmCAAC还有个速度牵连：cosvu代入有关数据，解得：smvsmu/63.2,/58.1(2)设绳中张力为T，左右的小物块的加速度为Aa，中间的小物块的速度为ca。则有动力学方程：cccAAAamTgmamgmTcos2下面便是比较容易错的一步：有平面极坐标方程下的加速度表达式：径向加速度：sin/)sin(cos22lvarracAC整理后得到：22/996.0/14.4smasmaaCBA从这个结果我们惊奇地发现：速度最大的点还不在这里，那个位置应该在更下方的位置。至于具体位置，还有待笔者的进一步计算。.2eg如下图所示，假设地面光滑。三个半径均为r，质量分别为m、2m、2m的球叠放在一起，他们之间的摩擦力忽略不计。试求解当小球BAmr2v1vA落地时它的速度为多少？解答：如下图所示为角位置为时的情况，假设此时A、B两球即将分离，则根据机械能守恒定律得到：22212121)cos6(cos2mvmvrmg沿直线方向速度相等：sincos21vv由于即将分离，二者之间没有相互作用力：取B做参考系，则此系为一惯性系。A相对于它作圆周运动，相对速度：cossin'21vvv列出A的动力学方程：rvmmg2'cos2解得：332,33cos2grv此后A与另外两个球分道扬镳，不再接触。对系统从静止到A落地使用机械能守恒：A落地时：22221216cos2mvmvmgrt轻松加愉快地解得：334grvtlmm2Tu0auvxT'vyvlmm2做完这一题的感觉：分析清楚了受力和运动，这个题看起来爆2B。不过计算真的很烦人。而且多了一项、少了一项都会是致命的错误。所以，如果做错了，借用司马懿那句话安慰你下：下次注意点儿！.3eg如图，质量为m2的小环套在水平光滑的固定细杆上，并用长为l地轻线与质量为m的小球连接。初始时轻线位于水平位置且处于拉直状态，问轻线与杆夹角为时线中的张力。解答：角方位为时运动状态已经在图中给出（画了好久哦亲~）。有tansin)2(21)(212222yxyxxvuvmglumvvmuv由此可以解出：xxyxvuvvglv21,cot23,)cot32(3sin822因此小球相对于环的速度sin)cot32(6)('222glvuvvyx下面进行动力学分析：以小环作为参考系，此系为一非惯性系，其加速度：cos20Tma小球在此系中的动力学方程（沿法向）：lmvmgmaT20'sincos联立上述两式，可以解得：mgT)cot32)(cos2(sin)cos8(2222.4eg小球从水平地面上以初速度0v斜抛出去，小球落地时在竖直方向上发生的非弹性碰撞恢复系数为e，小球与地面间的摩擦因数为。若要求小球第一次与地面碰撞后竖直弹起，试求小球可能达到的最大水平射程maxs。解答：小球的水平、竖直初速度分别为：sincos00vvvvyx水平射程为：)2sin(20gvs竖直方向上用动量：)]([)(yyvevmtmgN合理近似得到：sin)1(0vemtN水平方向上用动量：xmvtf'上式中：ttNf',整理得到：cos)(0mvtN代入tN的数值后得到：)1(1tane讨论：（1）若1)1(1e，则可以取4，则有：maxs=gvgvs20420max)2sin(（2）若1)1(1e，则抛射角的取值范围：4)1(1arctane此时22当2取最小时，抛射距离最大：gveegvgvse202222)1(1arctan2max21)1()1(tan1tan2)2sin(本题精华在于摩擦力冲量和支持力冲量的关系！.5eg在水平桌面上，质量分别为m和M（mM）的两个物体A、B，由一个倔强系数为k的轻弹簧连接，两物体与桌面的摩擦系数都是。开始时，A静止而B以初速度)(60mMkMmgV的初速度拉伸弹簧，求弹簧的最大伸长量maxs的值。解答：这道题从惯性系来解，生还的可能性非常之小。但是从质心系中来看这个问题，却显得十分的简单。我们将问题分作两部分来研究：（1）A尚未运动前：A运动的条件：1kxmg而此过程中：1212120212121MgxkxMVMV代入，得到：MmkgmkgMVMV2222120)(2)(2121（2）A运动起来后，在质心系里面看：功能原理告之：)2121(2122kxkxEWWk惯性力外力由于在质心系中，惯性力对系统不做功，即0惯性力W（惯性力对系统的作用等效作用于质心，而在质心系中质心的位置不变）而摩擦力做功：0xmMmMgxmMMmgWWf外力式中，12xxx故得到：212221212121kxkxVmMMm解之：)()5(2mMkmMMmgx注：折合质量，上式中我们十分轻松的写出了质心系中二质点系统的动能，这是因为我们有利器在手。质心系中二质点系统的动能：222121相对相对vvmMMmEk上式中mMMm，为二质点系统的折合质量。相对v是两质点的相对速度，在牛顿的世界观里，这个速度和参考系的选取无关。解题中之所以不写出，是怕和摩擦系数弄混。特此声明。（折合质量各类教材中都会给出十分详细讨论。这儿就打打酱油，从略了。个人观点：科大的《力学篇》关于折合质量的部分很不错）。在我的观点里，做功和能量是力学中最优美的求解形式。它不用将运动分离的四分五裂，破坏自然界的和谐。只关心始末的状态。然而，很多时候也会令人抓狂。总而言之，运动的质量：功和能量是力学殿堂中举足轻重的一位长老，我们想要征服他，就首先要膜拜他。2012.3.9