D1-2-1 数列的极限 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

第一部分函数、极限、连续•1.1：函数•1.2：极限–数列的极限–函数的极限–无穷小与无穷大–极限运算法则–无穷小的分类•1.3：连续数列的极限一、数列的定义四、按定义验证极限三、收敛数列的定义二、一个经典的例子五、数列极限的性质六、极限的四则运算(重点)为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来,12,,,,,naaa则称若函数f的定义域为全体正整数的集合+N,++:NR(),Nffnn或或简记为{an}.这里an所以我们也将数列写成称为数列{an}的通项.O121nn1a2ana1na.....一、数列的定义例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数).(nfxn;,)1(,,1,1,11n;,)1(,,34,21,21nnn二、一个经典的例子样的过程可以无限制地进行下去.我们把每天截下部分(或剩下部分)的长度列出：第一天截下,21第二天截下21,,2第n天截下1,.2n这样就得到一个数列:古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用了一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.它的意思是:一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这21111,,,,,.2222nn或容易看出:数列1122nn的通项随着n的无限增大而无限趋于0..})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn播放另一个经典的例子.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn问题1:当n无限增大时,xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题2:“无限接近”意味着什么?如何用精确的数学语言刻划它.Weierstraß1815-1897都闪开我来卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯：德国数学家，被誉为“现代分析之父”。生于威斯特法伦的欧斯腾费尔德，逝于柏林。魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析的严格化潮流中，以ε-δ语言，系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。三、收敛数列的定义定义1{}na设为一个数列,a为一个常数,若对于任意的正数,总存在正整数N,使当nN时,0,||aan则称数列收敛于a,又称a为数列的极限,{}na{}na一般地说,对于数列,若当n充分变大时,an{}na能无限地接近某个常数a,则称收敛于a.{}na•“-N”语言•非常重要•熟练掌握记作limnnaa(,).naan或若不收敛,则称为发散数列.{}na{}naxa1Na1a2aaa()na注意：;.1的无限接近与刻划了不等式axaxnn..2有关与任意给定的正数N)(NN四、按定义验证极限以说明,希望大家对“-N”语言能有正确的认识.例用定义验证:1lim0.nn分析对于任意正数,要使10,n只要.1n证对于任意的正数,1,N取,nN当时10,n所以1lim0.nn为了加深对数列收敛定义的了解,下面结合例题加lim0(0||1).nnqq例用定义验证分析对于任意的正数,要使|0|,nq只要log.log||nq这就证明了lim0.nnq|0|.nq证0(01),不妨设,nN当时有1lnlnqN极限的几何意义示当nN时,.lim,);(aaaUannn即从几何上看,,实际上就是时有Nn“”||aan所有下标大于N的an全都落在邻域之内，);(aU而在之外,{an}至多只有有限项(N项).);(aU反过来,如果对于任意正数,落在之外至);(aU多只有有限项,设这些项的最大下标为N,这就表例.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,],1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即为了更好地理解定义,再举一些例题.”“N例.lim),(CxCCxnnn证明为常数设证CxnCC,成立,0任给所以,0,n对于一切自然数.limCxnn说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,0数列极限的定义未给出求极限的方法.五、数列极限的性质四、*夹逼准则一、唯一性三、保号性二、有界性定理若}{na收敛,则它只有一个极限.即存在0,||,1,2,.nMaMn使得定理若数列，为有界数列则收敛}{,}{nnaa定理lim,nnaa设对于任意两个实数b,c,,则存在N,当nN时,.cabnbac定理设数列}{},{nnba都以a为极限,}{nc数列.lim}{accnnn且收敛，满足:存在,,,00nnnbcaNnN有时当则例求数列}{nn的极限.,22)1(...2)1(1)1(22nhnnthnnnhhnnnnnnn,1121lim1limnnn所以由夹逼原理，求得.1limnnn.12111nhnnn故又因解10,nnhn设则有极限的四则运算定理为收敛数列，与若}{}{nnba},{nnba则(1)limlimlim;nnnnnnnabab(2),limlimlimnnnnnnnbaba当nb为常数c时,;limlimnnnnbcbc(3),0lim,0nnnbb若也收敛，且则nnba.limlimlimnnnnnnnbaba也都是收敛数列,且有}{,}{nnnnbaba证明略63lim22nnnn63lim23nnnn63lim32nnnn例用四则运算法则计算五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性，唯一性，四则运算.