函数的图像及其变换(完整版)

-1-函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩yfxyfx（1）对称变换（几种常用对应点的对称变换）关于x轴对称：(,)(,)xyxy关于y轴对称：(,)(,)xyxy关于原点对称：(,)(,)xyxy关于yx对称：(,)(,)xyyx关于yx对称：(,)(,)xyyx关于直线xa对称：(,)(2,)xyaxy（轴对称）关于yxb对称：(,)(,)xyybxb关于yxb对称：(,)(,)xybyxb关于点(,)Pab对称：(,)(2,2)xyaxby（点对称）例1：已知2()2fxxx，且()gx与()fx关于点(1,2)对称，求()gx的解析式.（相关点法）例2：已知函数()yfx的图像关于直线1x对称，且当(0,)x时，有1()fxx，则当(,2)x时，()fx的解析式是（）.A.1xB.12xC.12xD.12x例3：下列函数中，同时满足两个条件“①xR，()()01212fxfx；②当6x3时，'()0fx”的一个函数是（）A.()sin(2)6fxxB.()cos(2)3fxxC.()sin(2)6fxxD.()cos(2)6fxx-2-（2）翻折变换①关于形如()yfx的图像画法：当0x时，()yfx；当0x时，()yfx()yfx为偶函数，关于y轴对称，即把0x时()yfx的图像画出，然后0x时的图像与0x的图像关于y轴对称即可得到所求图像.②关于形如()yfx的图像画法当()0fx时，()yfx；当()0fx时，()yfx先画出()yfx的全部图像，然后把()yfx的图像x轴下方全部关于x轴翻折上去，原x轴上方的图像保持不变，x轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12logyx（2）228yxx例4:设函数2()45fxxx.（1）在区间[2,6]上，画出函数()fx的图像；（2）设集合()5Axfx，(,2][0,4][6,)B.试判断集合AB、之间的关系，并给出证明；（3）当2k时，求证：在区间[1,5]上，3ykxk的图像位于函数()fx图像的上方.-3-（3）平移①左右平移把函数()yfx的全部图像沿x轴方向向左（0a）或向右（0a）平移a个单位即可得到函数()yfxa的图像②上下平移把函数()yfx的全部图像沿y轴方向向上（0a）或向下（0a）平移a个单位即可得到函数()yfxa的图像例4：将函数lg(32)1yx按向量(2,3)a平移后得到新的图象解析式为例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a平移后得到的图象的解析式为sin(2)24yx，则原来函数的解析式.（4）伸缩变换Ⅰ.将函数()yfx的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a或缩短(01)a为原来的a倍得到函数()(0)yafxa的图像.Ⅱ.将函数()yfx的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a或缩短(01)a为原来的1a倍得到函数()(0)yfaxa的图像.例6：已知函数21()2lg(2)xfxx，把函数()yfx的图像关于y轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()gx的图像，求()gx的解析式.例7：已知函数2()log(1)fxx，将()yfx的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()ygx的图像.（1）求()ygx的解析式和定义域；（2）求函数()(1)()Fxfxgx的最大值.-4-【练习】1.为了得到函数321xy的图像，只需要把函数2xy的图像上所有的点（）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度2.下面四个图形中，与函数22log(1)yxx的图像关于yx对称的是（）.3.若函数()()yfxxR满足(2)()fxfx，且[1,1]x时，()fxx，则函数()yfx的图像与函数4logyx的图像的交点的个数为（）.A.3B.4C.6D.84.将函数byaxa的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线yx对称，那么（）.A.1,0abB.1,abRC.1,0abD.0,abR5.已知21()fxxx，且()gx与()fx关于点(1,0)对称，求()gx的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）lnyx（2）26yxx7.函数()2xfx和3()gxx的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)Axy，-5-22(,)Bxy，且12xx.（1）请指出示意图中曲线12,CC分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]xaaxbb，且,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12ab，指出,ab的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)fgfg的大小关系.8.已知函数()fx和()gx的图像关于原点对称，且2()2fxxx.（1）求函数()gx的解析式；（2）解不等式()()1gxfxx；（3）若()()()1hxgxfx在[1,1]上是增函数，求实数的取值范围.6.已知函数()yfx，把函数()yfx的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()gx的图像，求()gx的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.-6-①32xy；②2xy；③21xy；④1xy；⑤31xy；⑥23xy；⑦34xy；⑧21xy；⑨35xy.常规函数图像有：函数代号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI-7-指数函数：逆时针旋转，底数越来越大.对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。对称性结论记住口诀指数函数：逆时针旋转，底数越来越大对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其它象限图象看函数奇偶性确定。-8-1.函数)(xfy图象关于ax对称)()(xafxaf)2()(xafxf)2()(xafxf；2.若函数y)(xf定义域为R，且满足条件)()(xbfxaf，则函数)(xfy的图象关于直线2bax对称.3.函数)(xfy图象关于),(ba成中心称bxafxaf2)()(bxfxaf2)()2(4.若函数)(xfy定义域为R，且满足条件cxbfxaf)()(（cba,,为常数），则函数)(xfy的图象关于点)2,2(cba对称.