2.2.1向量加法运算及其几何意义(教学用)

织金育才学校数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？下面我们学习向量的线性运算。课题引入人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算。由于大陆和台湾没有直航，因此2006年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机的位移是多少?上海台北香港abc上海台北香港CAB1、位移ABBCAC表明:位移的合成可看作是向量的加法。OFEGEGABEOCF1F2FGOCF1F2F为F1与F2的合力它们之间有什么关系?2、力的合成F1F2FF1+F2=F数的加法启发我们,从运算的角度看,AC可以认为是AB与BC的和,F可以认为是F1与F2的和,即位移,力的合成可看作向量的加法.AC任意给出两个向量a与b.如何求a+b？.ababBab在平面内任取一点Ａ，作AB＝a,作BC＝b则向量AC叫做a与b的和，记做a+b,即a+b=AB+BC=AC.规定:a+0=0+a=a.求两个向量和的运算，叫做向量的加法．•向量加法的定义:•向量和的定义：已知非零向量a与b,ab作法（1）在平面内任取一点OOAaAB==(2)作,bAB这种作法叫做向量加法的三角形法则,,abab+已知向量求作向量向量加法的三角形法则位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型还有没有其他的做法？o首尾连首尾相接(3)作OB=𝑎+𝑏ababABC作法（1）在平面内任取一点OOAaOBb==(2)作,向量加法的平行四边形法则这种作法叫做向量加法的平行四边形法则力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型o文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。连对角起点相同(3)作O𝐶=𝑎+𝑏ACabACabC(1)同向(2)反向abab特殊情况：当向量a,b是共线向量时，a+b又如何作出来？ABBAC区别与联系1.三角形法则要求是首尾连接；而平行四边形法则要求是起点相同.2.三角形法则适合任意两个非零向量的求和；而平行四边形适合不共线的两个向量的求和.向量的加法：三角形法则与平行四边形法则求两个向量和的方法:探究1：考察下列各图，|a＋b|与的大小关系如何？|a＋b|与的大小关系如何？ACｂa＋baaｂa＋bB||𝑎|-|𝑏||≤|𝑎+𝑏|≤|𝑎|+|𝑏|向量三角不等式：aｂa＋b|𝒂−|𝒃||𝒂+|𝒃|abbaabba()()abcabc()()abcabc实数的加法向量的加法交换律探究2：实数的加法有哪些运算律？类比实数加法的运算律，你能猜想向量的加法有哪些运算律？结合律向量的加法满足交换律吗？如何检验？AaOCｂa＋bBｂaa＋bOAACOCb＋aOBBCOC𝒂+𝒃=𝒃+𝒂?ABCDbc()()abcabc向量的加法满足结合律吗？如何检验？abcbcaba?(2)若平面内有n个向量首尾相接,构成一个封闭图形,那么A1A2+A2A3+……+An-1An+AnA1=_______0（1）A1A2+A2A3+……+An-1An=_______A1An三角形法则推广：求n个向量的和的口诀：尾首相接,首尾相连)4()3()2()1(edcdbadcba１.化简________)1(BCCDAB________)2(CBACBNMA________)3(DCCABDAB２.根据图示填空abcdefgABDEC巩固练习:𝑨𝑫𝑴𝑵𝟎𝑨𝑪𝑨𝑫𝑨𝑫𝑨𝑬例2：长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).解:(1)CAD船速B水速船实际航行速度(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).在Rt△ABC中,CADB=2,=5ABBC22ACABBC2225=295.4船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角约为68°因为tan∠CAB=52由计算器得∠CAB≈68𝑜课堂小结：向量加法的定义向量加法的运算律三角形法则平行四边形法则向量加法的运算()()abbaabcabc+=+++=++小结1.向量加法的三角形法则(要点：两向量首尾连接)2.向量加法的平行四边形法则(要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边)3.向量加法满足交换律及结合律作业：达标训练