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-1-1.2排列与组合-2-1.2.1排列1.理解排列数的定义,并掌握排列数公式及其应用.2.会用排列数的定义、排列数公式来解决一些简单的实际问题.121.排列的有关概念(1)一般地,从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)两个排列相同的含义:组成排列的元素相同,并且元素的排列顺序也相同.(3)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.A𝑛𝑚12知识拓展(1)排列的定义中包括两个基本内容:一是“取出元素”;二是“按一定顺序排列”.(2)从定义知,只有当元素完全相同,并且元素排列的顺序也完全相同时,才是同一个排列.元素完全不同,或元素部分相同,或元素完全相同而排列顺序不同的排列,都不是同一排列,叫做不同排列.(3)在定义中规定m≤n.(4)在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.在实际问题中,要由具体问题的性质和条件来决定,这一点要特别注意.(5)判断一个具体问题是不是排列问题,就看从n个不同元素中取出m个元素后,再安排这m个元素时是有序还是无序,有序就是排列,无序就不是排列.12【做一做1】从三本不同的书中任选两本,放在甲、乙两个书架上,有种不同的放法.解析:完成上述事情,需要分成两个步骤:第一步,从三本书中任选一本放在甲书架上,共有3种不同的方法;第二步,从剩下的两本书中任选一本放在乙书架上,有2种不同的方法.根据分步乘法计数原理,不同的放法共有3×2=6(种).答案:6122.排列数公式(1)排列数公式:A𝑛𝑚=𝑛!(𝑛-𝑚)!=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),这里n,m∈N+,并且m≤n.(2)一般地,n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列.A𝑛𝑛=n!.(3)规定:0!=1.12知识拓展(1)排列数公式的特点:①这个公式在m,n∈N+,m≤n的情况下成立,mn时不成立;②排列数公式的推导过程是不完全归纳法,不是严格的证明,要严格证明排列数公式,可采用数学归纳法证明.这个证明不作要求,今后直接应用公式即可;③公式右边是m个数的连乘积,形式较复杂,其特点是:公式右边的第一个因数是n,后面的每一个因数都比它前面的因数小1,最后一个因数为n-m+1,共有m个因数相乘.12(2)排列数公式的阶乘表示为Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1)·(n-m)·…·2·1(n-m)·(n-m-1)·…·3·2·1=n!(n-m)!,即Anm=n!(n-m)!.在一般情况下,排列数的第一个公式Anm=n(n-1)·(n-2)…(n-m+1)适用于具体的计算以及解m较小的排列数方程和不等式;排列数的第二个公式Anm=n!(n-m)!适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等情况.在具体运用时,应注意先提取公因式再计算,同时还要注意隐含条件“m≤n且m,n∈N+”的运用.0!=1是一种规定,不能按阶乘的含义作解释.12【做一做2-1】设m∈N+,且m15,则(15-m)·(16-m)·…·(20-m)等于()解析:在(15-m)·(16-m)·…·(20-m)中最大的因式为20-m,共有6项,故(15-m)·(16-m)·…·(20-m)=答案:CA.A15-𝑚6B.A20-𝑚15-𝑚C.A20-𝑚6D.A20-𝑚5A20-𝑚6.12【做一做2-2】给出下列四个关系式:其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4①n!=(𝑛+1)!𝑛+1;②A𝑛𝑚=nA𝑛-1𝑚-1;③A𝑛𝑚=𝑛!(𝑛-𝑚)!;④A𝑛-1𝑚-1=(𝑛-1)!(𝑚-𝑛)!.12解析:∵(𝑛+1)!𝑛+1=(𝑛+1)×𝑛!𝑛+1=n!,∴①式正确;∵nA𝑛-1𝑚-1=n×(𝑛-1)![(𝑛-1)-(𝑚-1)]!=𝑛(𝑛-1)!(𝑛-𝑚)!=𝑛!(𝑛-𝑚)!=A𝑛𝑚,∴②式正确;③式显然正确;∵A𝑛-1𝑚-1=(𝑛-1)![(𝑛-1)-(𝑚-1)]!=(𝑛-1)!(𝑛-𝑚)!.∴④式不正确.答案:C排列应用题的常见类型及解法有哪些?剖析排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问题,绝大多数排列问题都可转化为这两种形式.(1)无限制条件的排列应用题,直接利用排列数公式计算.(2)有限制条件的排列应用题,采用直接法或间接法.应注意以下几种常见类型:①含有特殊元素或特殊位置的,通常优先安排特殊元素或特殊位置,称为“特殊元素(或位置)优先考虑法”.②某些元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排序,这种方法称为“捆绑法”,即“相邻元素捆绑法”.③某些元素要求不相邻时,可以先安排其他元素,再将这些不相邻元素插入空当,这种方法称为“插空法”,即“不相邻元素插空法”.④某些特殊元素按一定顺序排列时,可用“等机率法”,即n个不同元素参加排列,其中m个元素的顺序是确定的.这类问题的解法是采用分类法.n个不同元素的全排列有A𝑛𝑛种排法,m个元素的排列有A𝑚𝑚种排法,因此A𝑛𝑛种排法中,关于m个元素的不同分法有A𝑚𝑚类,而且每一分类的排法数是一样的.当这m个元素顺序确定时,共有A𝑛𝑛A𝑚𝑚种排法.题型一题型二题型三题型四题型五题型一排列数公式的应用【例1】解下列方程或不等式:(1)3A𝑥3=2A𝑥+12+6A𝑥2;(2)A9𝑥6A9𝑥-2.分析求解以排列数形式给出的方程或不等式时,应体现化归与转化的思想,利用公式转化为一般的代数方程、不等式再求解.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)由排列数公式,得3𝑥(𝑥-1)(𝑥-2)=2(𝑥+1)𝑥+6𝑥(𝑥-1),𝑥≥3,𝑥∈N+.①②由①得3x2-17x+10=0,解得x=5或x=23,由②可知x=5.(2)原不等式可化为9!(9-𝑥)!6×9!(9-𝑥+2)!,3≤𝑥≤9,𝑥∈N+.①②由①式化简得(x-8)(x-13)0,解得x8或x13.由②可知3≤x8,x∈N+,即x=3,4,5,6,7.故所求不等式的解集为{3,4,5,6,7}.题型一题型二题型三题型四题型五反思(1)解含有排列数Anm的方程或不等式时,要注意m,n∈N+,且m≤n这些限制条件,还要注意其中未知数的取值范围.(2)公式Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),一般用于计算;而Anm=n!(n-m)!常用于化简与证明.题型一题型二题型三题型四题型五题型二排队问题【例2】有5名男生,4名女生排成一排.(1)从中选出3人排成一排,有多少种不同的排法?(2)若男生甲不站排头,女生乙不站排尾,则有多少种不同的排法?(3)要求女生必须站在一起,有多少种不同的排法?(4)若4名女生互不相邻,有多少种不同的排法?分析(1)这是一个无限制条件的排列问题,利用排列数公式易求;(2)这是一个有限制条件的排列问题,特殊元素是男生甲和女生乙,排头和排尾是特殊位置,需将问题合理分类、分步再计算;(3)女生站在一起,可将所有女生视为一个整体,既考虑整体内部的排列,又考虑这个整体与其他男生一起的排列;(4)由于4名女生不能相邻,所以可考虑先将男生排好,再将4名女生插空排列.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)只要从9名学生中任选三名排列即可,所以共有A93=9×8×7=504(种)不同排法.(2)将排法分成两类:一类是甲站在排尾,其余的可全排,有A88种排法;另一类是甲既不站排尾又不站排头,有A71种排法,乙不站排尾而站余下的7个位置中的一个,有A71种排法,其余人全排列,于是这一类有A71·A71·A77种排法.由分类加法计数原理知,共有A88+A71·A71·A77=287280(种)不同排法.题型一题型二题型三题型四题型五(3)女生必须站在一起,是女生的全排列,有A44种排法.全体女生视为一个元素与其他男生全排列有A66种排法.由分步乘法计数原理知,共有A44·A66=17280(种)不同排法.(4)分两步.第一步:男生的全排列有A55种排法;第二步:男生排好后,男生之间有4个空,加上男生排列的两端共6个空,女生在这6个空中排列,有A64种排法.由分步乘法计数原理知,共有A55·A64=43200(种)不同排法.题型一题型二题型三题型四题型五反思(1)对于有限制条件的排列问题,先考虑安排好特殊元素(或位置),再安排一般的元素(或位置),即先特殊后一般,一般用直接法.也可以先不考虑特殊元素(或位置),而列出所有元素的全排列数,从中再减去不满足特殊元素(或位置)要求的排列数,此方法一般是间接法.(2)关于某些元素“相邻”的排列问题,可以把相邻元素看成一个整体,当成一个元素去和其他元素进行排列;而对于元素“不相邻”的排列问题,可先将允许相邻的元素进行排列,然后在它们的空当处插入不能相邻的元素.题型一题型二题型三题型四题型五题型三组数问题【例3】用0,1,2,3,4,5这六个数字:(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?(3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数?分析该例中的每一个小题都是有限制条件的排列问题.除了应注意题目中要求的明显条件外,还应注意隐含条件“0不能排在首位”.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类:第一类:当0在个位时有A53个;第二类:当2在个位时,首位从1,3,4,5中选定1个(有A41种),十位和百位从余下的数字中选(有A42种),于是有A41·A42个;第三类:当4在个位时,与第二类同理,也有A41·A42个.由分类加法计数原理知,所求的四位偶数共有A53+A41·A42+A41·A42=156(个).题型一题型二题型三题型四题型五(2)五位数中无重复数字且是5的倍数的数可分为两类:个位上的数字是0的五位数有A54个;个位上的数字是5的五位数有A41·A43个.故所求的五位数共有A54+A41·A43=216(个).(3)无重复数字且比1325大的四位数可分为三类:第一类是形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共A41·A53个;第二类是形如14□□,15□□,共有A21·A42个;第三类是形如134□,135□,共有A21·A31个.由分类加法计数原理知,所求的四位数共有A41·A53+A21·A42+A21·A31=270(个).题型一题型二题型三题型四题型五反思不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题.其常见的附加条件有:奇数、偶数、倍数、大小关系等,也可以有相邻问题、插空问题,也可以与数列等知识相联系等.解决这类问题的关键是搞清事件是什么,元素是什么,位置是什么,给出了什么样的附加条件.然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成),按事件发生的连续过程合理分步来解决.这类问题的隐含条件“0不能排在首位”尤其不能忽略.题型一题型二题型三题型四题型五题型四与几何知识相联系的应用题【例4】从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作为方程ax2+bx+c=0的系数,可以组成多少个不同的一元二次方程?其中有实根的方程有多少个?分析题目有两问:第一问隐藏的限制条件是a≠0;第二问的限制条件等价于Δ≥0,且a≠0,即受不等式b2-4ac≥0且a≠0的制约,需分类讨论.题型一题型二题型三题型四题型五解:先考虑组成一元二次方程的问题:首先确定a,只能从1,3,5,7中选一个,有A41种,然后从余下的4个数中任选两个作b,c,有A42种.由分步乘法计数原理,共组成一元二次方程的个数为A41·A42=48.方程要有实根,必须满足Δ=b2-4ac≥0.分类讨论如下:当c=0时,a,b可在1,3,5,7中任取两个排列,有A42个;当c≠0时,分析判别式知b只能取5,7.当b取5时,a