体操队最佳阵容排列分析

1体操队组队问题的分析摘要本文对女子体操队组队问题进行了深入探讨,全文整体采用优化思想并针对不同问题，分别运用1~0整数规划模型及概率统计理论建立出相应模型，结合lingo、matlab等软件编程求解，得出在不同情况下的最佳阵容的安排方式。针对问题一，根据已知条件给出的最悲观情况下各运动员的得分，建立目标函数使得总得分尽可能高，经分析，结合题中运动员的参赛规则得到约束条件，采用1~0整数规划建立模型，运用lingo软件对模型进行求解，得出符合题意的最佳出场阵容见详表4.1.3，总的得分为212.3分针对问题二，除各参赛选手各项得分由最低值改为均值外其余思路同第一问相似，由此建立出目标函数，运用lingo求解，得出运动员在得分取均值的情况下的最佳出场阵容见表4.2.3.此时，该队的总得分为：225.1分。针对问题三，运用概率统计理论和正态分布知识将问题简化典型求解最优解的模型，通过计算得出方差ijD和期望jiC,，并将其带入标准正态规划函数中即可得到目标函数，由于约束条件和前两问相似，故运用lingo软件将之前程序目标函数修改后即可求出本问最佳阵容见表4.4.1和团队总得分224.6分，并得出此阵容得冠概率0maxP，以及该阵容有90%概率可以战胜的对手最高总分不超过223.3301分。关键词：最佳阵容1~0规划概率统计正态分布2一、问题的提出1.1问题内容一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛中，赛程中规定：每个队至多允许10名运动员参赛，每一个项目由6名选手参加。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者。此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛与单项比赛这两类比赛中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三个单项。每个队应有4人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。某队的教练已经对其10名运动员参加各个项目的成绩进行了测试，（见附表1），她们得到这些成绩的相应概率也由统计得出。试建立模型为教练提供方法：(1)选手的各项得分按最悲观算，排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；(2)选手的各单项得分按均值算，设计出场阵容，使该队团体总分尽可能高；(3)如果本次夺冠的团体总分估计为不少于236.2分，该队为了夺冠应排出怎样的阵容？其夺冠的前景如何？即期望值又如何？它有90%的把握战胜怎样水平的对手？1.2问题的意义本文通过调查体操世界杯背景资料,其作为国际体操联合会（FIG）的A级赛事，体操世界杯是仅次于奥运会和世锦赛的体操界顶级赛事之一，被列入正式的国际体联赛事年鉴。2004年雅典，在代表团超额完成任务的情况下，带着7个夺金点出征的中国体操队成了最失败的团队。归国后，中国体操队从负开始，励精图治，从点滴抓起，小到每个动作和生活细节，大到教练班子分工的调整，以及分析每个运动员的战场发挥情况，全面布置调节队员的出场阵容。直到2006年10月，在丹麦阿胡斯，从负数起步的中国体操终于以8枚金牌震惊了世界！两年中国体操从负到“震”胜在阵容新人用实力正中国体操队是一个优秀的战斗集体。这并不是空话，但是如果没有审时度势，没有安排好阵容,那么整个体操队的发挥甚至夺冠将大受影响，因此，掌握每个选手的得分资料，排出合理的出场阵容对团队的成绩至关重要。二、问题分析本文围绕体操队团体赛展开讨论，所要打到的目标是排出题目中各不同前提下的最佳出场阵容。容易得出该模型的目标函数是团体总分最高，而约束条件则由比赛规则确定。如“每队至多10名运动员参赛，每项最多6名运动员，每队应有四人参加全能，其余参加单项比赛，参加单项比赛的每个运动员至多参加三个单项”。当要求团体总分最高时，应派出赛程允许最多的运动员人数，本题中最多为10名，其中四名是全能运动员，此时每项队员数相应的达到最多，即6名。可见，每单项除了四名全能运动员外，还有两名非全能运动员。简单的赛程规则图如图2.13图2.1比赛规则图三、模型假设1.每个运动员，每场比赛都是相互独立的，2.参加全能赛的运动员，不能再参加单项赛，3.每个参加多项比赛的选手，他在参加前一项比赛对后一项比赛没有影响，4.运动员在比赛时不发生特殊情况都能发挥出平常水平。5.对手得分视为一切确定的；6.运动员在比赛中获得的分数的概率严格按照题目所给，且所得分数也只能为题目给四种中的一种；7.团队总得分大于236.2就必定会夺冠。四、模型的建立与求解4.1模型准备在概率论中，随机变量nXXX,,2,1两两相互独立,若,21nXXXY那么：引入期望：nnXEXEXEXXXEYE21,21引入方差:nnXDXDXDXXXDYD2121引入正态分布公式：标准差）表示表示期望，(21222xexf标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率.标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的和2为0和1，通常用（或Z）表示服从标准正态分布的变量，记为1,0~Nz。一般正态分布与标准正态分布的转化：由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，运动员4个人参加全能赛其余参加单项赛每人至多参加3项总得分4对于任一正态总体，其取值小于x的概。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。4.2针对问题一4.2.1建立1~0变量模型由于问题要求当每个选手的各单项得分以最悲观估计的前提之下，求出最佳出场阵容，所以实质上是要求出以什么样的阵容出场，该团队总的得分最高。首先提取出每个运动员在最悲观的状态下的估算成绩，详见表4.2.1表4.2.1最悲观状态下队员的得分成绩估算12345678910高低杠8.49.38.48.18.49.49.58.48.49.0平衡木8.48.48.18.79.08.78.48.88.48.1跳马9.18.48.49.08.38.58.38.78.48.2自由体操8.78.99.58.49.48.48.48.29.39.1根据上面对本问的分析，建立模型如下：1021:、、取i，代表十名运动员的编号；4321:j、、、取，依次代表运动项目高低杠、平衡木、跳马、自由体操。本模型中设1~0变量ijx和iy来辅助建立模型个项目个运动员参加第第个项目个运动员不参加第第jijixij10另外，为了方便模型的求解，本模型需要引入第二个1~0整型变量iy4141jijixy为了将其取值范围定在1~0范围内，不妨将其做有效处理，并取整后，可表示为个人参加全能赛第个人不参加全能赛第iiyi10每一个项目可以有6名选手参加，最优情况下满人，则：1016jijx每对有四个人参加全能赛，则：1014iiy目标函数是团队的总得分最高，列出式子如下：10141maxijijijxaz其中ija表示第i名运动员参加第j个项目的得分。队员项目5设在悲观情况下第第i名运动员参加第j个项目的得分为ijb，那么ijijba由已知条件，经上述及分析过程可知，在最悲观状况下，本文中建立1~0整数规划模型如下：10141maxijijijxaz1,03146..41101101ijjijiiiiijxxyyxts4.2.2模型的求解由lingo编程(见附录1)，得出在最悲观情况下，该队的出场阵容及各运动员得分情况见表见附表2表4.2.2最悲观情况下各队员出场及得分情况12345678910高低杠9.38.49.49.58.49.0平衡木8.48.79.08.78.88.4跳马9.18.49.08.38.58.4自由体操8.99.59.48.49.39.1根据上表，容易得知在最悲观情况下,参见全能项目的选手为2、5、6、9号运动员，其余选手参加单项赛。在此种情况下，可以使得在各个选手在得分最悲观状态下的总得分最高。表4.2.3最佳出场阵容参加项目参加第一项的选手参加第二项的选手参加第三项的选手参加第四项的选手参加全能项的选手队员项目6参加选手7、104、81、43、102、5、6、94.3针对问题二本问要求在每个选手的个单项得分按均值计算时，设计最优出场阵容，使得总得分最高。所以本问的建模思想和第一问一样，因为要是总的得分最高，所以必须每项都有6名选手参加，4个人参加全能赛。在确定目标函数的情况下，列出约束条件，具体模型如下。4.3.1建立1~0变量模型由于这问的模型和第一问一样,只是第i名运动员参加第j项运动得分为均值,所以设ijc为第i名运动员参加第j项运动得分均值ijijca均值情况下团体总分为：42,1,10,110141jixazijijij约束条件为：1,03146..41101101ijijiiiiijyxyyxts每个选手的平均得分情况如下表4.3.1（即ija的值）：表4.3.1各队员单项的均值得分情况运动员项目12345678910高低杠9.259.609.009.109.259.709.809.009.259.40平衡木9.009.009.109.109.409.109.009.809.209.10跳马9.509.009.259.508.908.908.909.109.009.20自由体操9.109.309.809.009.709.259.209.309.709.504.3.2模型的求解同第一问，由lingo编程(见附录2)，只是ija代入的值改变，其他不变。得出在每个队员得分均值时，最佳出场阵容和各选手的具体个项目得分情况，安排结果见表4.3.2。7表4.2.2各选手得分取均值时队员的出场及得分情况12345678910高低杠—9.69.0—9.79.89.0—9.4平衡木—9.09.1—9.4——9.89.29.1跳马9.59.09.09.5———9.1—9.2自由体操—9.39.8—9.7——9.39.79.5得出在各队员得分按均值计算的情况下，最佳出场阵容见表4.3.3.表4.3.3得分按均值计算的最佳出场阵容参加项目参加第一项的选手参加第二项的选手参加第三项的选手参加第四项的选手参加全能赛的选手队员6、75、91、45、92、3、8、10该团体的总得分为：225.1分。4.4针对第三问4.4.1模型的建立首先分析，若按以往的资料及近期的各种信息，本次夺冠的团体总分不少于236.2分，因为如果最多24个项目且全参加总分才240分，所以本次要夺冠就必须参加全部的24个项目。要满足条件的出场阵容且夺冠，则需要团体总分不少于236.2分的概率为最大，则此问题可转化为求解：max42,1,10,12.23610141jixaPijijij其中ija表示第i名运动员参加第j个项目的得分，ijx表示第i名运动员是否参加第j个项目设团体总得分为：10141ijijijxaS则得分期望为：10141ijijijxcSE队员项目8其中ijc为第i名运动员参加第j项运动得分均值。得分方差为：10141ijijijxDSD其中ijD为第i名运动员参加第j项运动得分方差（见表4.4.1）经过对问题转化发现此问题服从正态分布，其中)()(SDSE标准差期望将非标准正态分布转化为标准正态分布)()(SDSESu其中，101411014102.236ijijijijijijxDxcu由于得分概率服从正态分布，故该队的总分不少于236.2分的概率为：001uuuP对于服从标准正态分布的随即变量Y，当xY时，其得分密度函数为单增函数，故求01u的最大值可以转化为求0u的最小值，即目标函数10141101412.236ijijijijijijxDxc的最小值。则满足条件的优化模型为：42,1,1