等差数列知识点总结与基本题型

等差数列知识点总结与基本题型一、基本概念1、等差数列的概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。（2）对于公差d，需强调的是它是每一项与它前一项的差（从第2项起）要防止把被减数与减数弄颠倒。（3）0d等差数列为递增数列0d等差数列为常数列0d等差数列为递减数列（4）一个等差数列至少由三项构成。2、等差数列的通项公式（1）通项公式：1(1)naand，（当1n时，等式也成立）；（2）推导方法：①不完全归纳法：在课本中，等差数列的通项公式是由1234,,,,aaaa归纳而得，这种利用一些特殊现象得出一般规律的方法叫不完全归纳法。②迭加法：也称之为逐差求和的方法：2132,,aadaad431,,nnaadaad，上述式子相加，1(1)naand，即1(1)naand。③迭代法：1223()2()2nnnnnaadaddadadd313(1)nadand。（3）通项公式的应用与理解①可根据d的情况来分析数列的性质，如递增数列，递减数列等。②用于研究数列的图象。11(1)()naanddnad，（Ⅰ）0d时，na是n的一次函数，由于nN，因此，数列na的图象是直线1()nadnad上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。（Ⅱ）0d时，1naa，表示平行于x轴的直线上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。不难得出，任意两项可以确定一个等差数列。③从函数知识的角度考虑等差数列的通项公式：11(1)naanddnad，na是关于n的一次式()nN，所以等差数列的通项公式也可以表示为napnq（设1,pdqad）。④等差数列具有下列关系：（Ⅰ）数列中任意两项na与ka，满足：()nkaankd或nkaadnk。（Ⅱ）在等差数列中，若mnpq，则mnpqaaaa。3、等差数列的等差中项（1）定义：如果,,aAb成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。（2）充要条件：,,aAb成等差数列2abA。（3）推论：na是等差数列212nnnaaa。4、等差数列的主要性质①若2(,,)mnkmnkN，则2mnkaaa。②na是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即1211nniniaaaaaa。③若na为等差数列，则123456789,,aaaaaaaaa，…仍构成等差数列。④na是等差数列，则135,,,aaa仍成等差数列。⑤下标成等差数列且公差为m的项：2,,,(,)kkmkmaaakmN组成公差为md的等差数列。⑥数列nab（,b为常数）是公差为d的等差数列。二、基本题型例1、判断下列数列是否是等差数列：（1）43nan；（2）22nann。分析：用定义去判断。解：（1）14(1)3(43)4nnaann，∴数列na是等差数列。（2）由22nann得1233,8,15aaa，则21325,7aaaa，2132aaaa，∴数列na不是等差数列。评注：如果判断一个数列为等差数列，需用定义去证明，但若一个数列不是等差数列，只要取特殊值说明即可。例2、求等差数列10,8,6,的第20项。解：10(1)(2)212nann，202201228a。例3、在等差数列na中，已知51a，82a，求1a与d。解：由题意知：11(51)1(81)2adad解得15,1ad。例4、已知1na为等差数列，且2421,21aa，求10a。分析：有的同学习惯于数列na等差数列，对于1na是等差数列就束手无策了，关键还是对定义理解不透彻。解：∵1na为等差数列，421111(21)(21)222121daa，1d，又21111aa，1211111(21)12221aa，111(1)22(1)(1)23nndmnaa，101102327a，则101274727a。例5、等差数列na中，已知23101136aaaa，则58aa。分析：利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出1211ad的值。解法1：根据题意，有1111()(2)(9)(10)36adadadad，142236ad，则121118ad。而58111(4)(7)211aaadadad，因此，5818aa。解法2：根据等差数列性质，可得5831021136218aaaaaa。评注：解法1设出了1,ad但并没有求出1,ad，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想，解法2实际上运用了等差数列的性质：若pqmn，,,,pqmnN，则mnpqaaaa。例6、三个数成等差数列，它们的和等于9，它们的平方和等于35，求这三个数。分析：若设这三个数为,,abc，则需列三个方程；若根据等差数列的定义，设这三个数为,,adaad，只需列两个方程，因此，采用后一种设法更好。解：设这三个数为,,adaad，由题意得222()()9()()35adaadadaad解得3,2ad，这三个数为1,3,5，或5,3,1。评注：注意最终结果的写法，为了避免引起歧义，这三个数写出来时，就写成数列的形式。例7、等差数列na中，918,apaq，求36a。分析：由918,apaq，直接列方程组；解出两个基本量1a和d，这是常规解法，但比较麻烦，观察91836,,aaa的下标，可以联想到9182736,,,aaaa成等差数列，利用等差数列的性质，必能提高解题速度。解法1：1891899aaqpd，3618(3618)18329qpaadqqp。解法2：9182736,,,aaaa成等差数列，189272718362,2,aaaaaa3627181891818922(2)3232aaaaaaaaqp。例8、在1与7之间顺次插入三个数,,abc，使这五个数成等差数列，则这个数列为。分析：此题可求出公差后，再逐项求解，也可以利用等差数列的性质求解。解法1：设这几个数组成的等差数列为na，由已知151,7aa，71(51)d。解得2d，所求数列为1,1,3,5,7。解法2：可利用等差数列，b是1,7的等差中项，a是1,b的等差中项，c是,7b的等差中项。即17173,1,5222bbbac。∴所求数列为1,1,3,5,7。例9、设na是公差为2的等差数列，如果1479750aaaa，那么36999aaaa（）A、182B、78C、62D、82解：3699914797(2)(2)(2)(2)aaaaadadadad14797()33250332(2)82aaaad。评注：直接从所求入手，观察已知与未知的联系，将1479750aaaa整体代入，使问题简单化。答案：D