条件概率

一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结第三节条件概率在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.分析}.,,,{TTTHHTHHS.2142)(BP事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为),(ABP31)(ABP则).(BP4341)()(APABP.,为反面为正面设TH1.引例},,{},,,{TTHHBTHHTHHA)()()(BPABPBAP同理可得为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率..)()()(,0)(,,条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称且是两个事件设BAAPABPABPAPBA2.定义SABABP(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，P(A|B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，容易看到P(A|B)改变样本空间B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数);()()()()3(212121BAAPBAPBAPBAAP).(1)()4(BAPBAP;0)(,1)(:)2(BPBSP规范性则有件是两两不相容的事设可列可加性,,,:)5(21BB.)(11iiiiABPABP3.性质;0)(:)1(ABP非负性条件概率有两种计算方法：1.公式：2.改变样本空间——适用简单问题)()()(BPABPBAP一般P(A|B)≠P(A)例1某工厂生产100个产品,其中有50个一等品、40个二等品，10个废品.规定一、二等品都为合格品。从产品中任取1件，设事件A为“取到的是一等品”、事件B为“取到的是合格品”．若任取一件为合格品，求该件为一等品的概率P(B|A).解:()50|()90PABPABPB例2掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1:解法2:解:设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算例3当掷五枚相同硬币时，已知至少出现两个正面的情况下，问正面数刚好是三个的条件概率？解：设A={至少出现两个正面}，B={出现三个正面}则有()()|()1()PABPBPBAPAPA：至多一个正面，即一个正面或无正面A3555552|5113122CPBA例4设A、B为两个事件，且，，，证明证明：()()()|(|)()1()()()()()1()1()PABPBAPBAPBAPBAPAPAPAPBABPBPABPAPA01PA0PB||PBAPBA()PABPAPB则：()1()()()()PABPAPAPBPAB故：()()()PABPAPB监狱看守通知三个囚犯,在他们中要随机地选出一个处决,而把另外两个释放.囚犯甲请求看守秘密地告诉他,另外两个囚犯中谁将获得自由.因为我已经知道他们两人中至少有一人要获得自由，所以你泄露这点消息是无妨的.甲如果你知道了你的同伙中谁将获释，那么，你自己被处决的概率就由1/3增加到1/2,因为你就成了剩下的两个囚犯中的一个了.乙丙NO！例5对于看守的上述理由,你是怎么想的?解：记A={囚犯甲被处决},B={囚犯乙被处决}C={囚犯丙被处决}依题意，P(A)=1/3,P(A|)=P(A)／[1-P(B)]=1/2,P(A|)=1/2,看守说得对.甲由条件概率的定义：即：若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).而P(AB)=P(BA)故P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A)将A、B的位置对调，有(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率).()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn则有且,0)(121nAAAP,2,,,,21nnAAAn个事件为设推广则有且为事件设,0)(,,,ABPCBA).()()()(APABPABCPABCP).()()(,0)(APABPABPAP则有设拓展：注意P(AB)与P(A|B)的区别！每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.条件概率P(A|B)与P(A)数值关系条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小.那么,条件概率P(A|B)与P(A)数值关系谁大？一定是条件概率大吗？一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确实吃亏吗？例6：我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，则表示“第i个人未抽到入场券”解：若第2个人抽到入场券，第1个人肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，由于由乘法公式计算得：P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，例8设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透镜落下三次而未打破”.,321AAAB因为)()(321AAAPBP所以)()()(112213APAAPAAAP)211)(1071)(1091(.2003,)3,2,1(次落下打破透镜第表示事件以iiAi例9对含有5%废品的100件产品进行抽样检查，整批产品被拒绝接收的条件是在被抽查的5件产品（不放回抽样）中至少有一件是废品，试问该批产品被拒收的概率是多少？解令，则被拒收的概率为而12345AAAAAA()1()PAPA},(1,2,3,4,5)iiiA={第次被抽查产品为合格品12345121312412351234PA)(||||PAAAAAPAPAAPAAAPAAAAPAAAAA12345121312412351234121312412351234PA)(||||95%(|)94/99|93/98|92/97|91/96PAAAAAPAPAAPAAAPAAAAPAAAAAPAPAAPAAAPAAAAPAAAAA例10市场上供应的灯泡中，甲产品占60%，乙厂占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂的合格率是80%。若用A表示甲厂的产品，B表示产品为合格品，求：1.已知买到的是甲厂的一个产品，合格率是多少？2.买到一个产品是甲厂生产的合格灯泡的概率？解：|90%9060PAB|0.54100100PBAPBAPA例1110道题签，6道数学题，4道文学题，抽签答题，某人对数学题有80%的把握，对文学题有90%的把握，现随机取一个签，求：1.抽到数学题而且回答正确的概率2.抽到文学题而且回答正确的概率解：A—抽到数学题B—抽到文学题C—回答正确64(),(),|80%,|90%1010PAPBPCAPCB6()()|80%48%104()()|90%36%10PACPAPCAPBCPBPCB3.答对题的概率是多少？6()()|80%48%104()()|90%36%10()48%36%PACPAPCAPBCPBPCBPC为什么可用二者相加之和，有何理论依据——全概率公式ACBCACBC,()()()()(|)()(|)CACBCACBCPCPACPBCPAPCAPBPCB例12有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}即B=A1B+A2B+A3B，且A1B、A2B、A3B两两互斥B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，P(B)=P(A1B)+P(A2)+P(B)运用加法公式得123A1A2A3B将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/15.,,,.)ii(;,,2,1,,,)i(,,,,,212121的一个划分为样本空间则称若的一组事件为的样本空间为试验设定义SBBBSBBBnjijiBBEBBBESnnjin1.样本空间的划分1B2B3B1nBnB三、全概率公式与贝叶斯公式2.全概率公式全概率公式)()()()()()()(),,,2,1(0)(,,,,,,221121nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE则且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理jiBB由))((jiABAB)()()()(21nABPABPABPAP图示A1B2B3B1nBnB证明)(21nBBBAASA化整为零各个击破12nABABAB说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.A1B2B3B1nBnB设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,…,n,另有一事件B,它总是与A1,A2,…,An之一同时发生，则niiiABPAPBP1)()()(｜全概率公式:在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:例13有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A为“任取一件为次品”,.3,2,1,”“iiBi厂的产品任取一件为为事件,321SBBB解.3,2,1,,jiBBji由全概率公式得,2.0)(,5.0)(,3.0)(321BPBPBPS30%20%50%2%1%1%).()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP.013.02.001.05.001.03.002.0,01.0)(,01.0)(,0