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第7课时一元二次方程及其用第7课时┃一元二次方程及其应用皖考解读皖考解读考点聚焦考情分析皖考探究考点年份题型分值热度预测2011选择题4分★★★★2012解答题8分2014填空题4分一元二次方程的解法2010(芜湖)选择题4分一元二次方程根的判别式2010解答题10分★一元二次方程的应用20132015选择题选择题4分4分★★★★考题赏析1．[2011·安徽]一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是()A．－1B．2C．1和2D．－1和22．[2010·芜湖]关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足()A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5第7课时┃一元二次方程及其应用D解析可用代入验算的办法．A解析本题需要分类讨论，当a－5＝0时，方程有实数根；当a－5≠0时，Δ≥0时，方程有实数根．皖考解读考点聚焦皖考探究3．[2013·安徽]目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是()A．438(1＋x)2＝389B．389(1＋x)2＝438C．389(1＋2x)＝438D．438(1＋2x)＝389第7课时┃一元二次方程及其应用B解析去年上半年到今年上半年经历了两次“半年”变化过程，即从389经过“两次”增长后为438，则第一次增长后为389(1＋x)，第二次增长后为389(1＋x)2，故选B.皖考解读考点聚焦皖考探究4．[2012·安徽]解方程：x2－2x＝2x＋1.第7课时┃一元二次方程及其应用解：x2－4x－1＝0，a＝1，b＝－4，c＝－1，∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x＝－（－4）±202×1＝2±5，∴x1＝2＋5，x2＝2－5.皖考解读考点聚焦皖考探究考点聚焦考点1一元二次方程的概念及一般形式定义含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程叫做一元二次方程一般形式________________注意在一元二次方程的一般形式中要注意强调a≠0第7课时┃一元二次方程及其应用一2ax2＋bx＋c＝0(a≠0)皖考解读考点聚焦皖考探究考点2一元二次方程的四种解法方法关键点回顾直接开平方法适合于x2＝a或(x＋a)2＝b(b≥0)的形式的方程配方法①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另一边；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把方程整理成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直接开平方法解方程公式法对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，x＝__________________.注意：(1)先将方程化为一元二次方程的一般形式；(2)注意b2－4ac≥0这个条件因式分解法如果ab＝0，那么________或________第7课时┃一元二次方程及其应用－b±b2－4ac2aa＝0b＝0皖考解读考点聚焦皖考探究考点3一元二次方程的根的判别式一元二次方程根的情况与判别式的关系(1)b2－4ac0方程有__________的实数根；(2)b2－4ac＝0方程有__________的实数根；(3)b2－4ac0方程__________实数根第7课时┃一元二次方程及其应用两个不相等两个相等没有皖考解读考点聚焦皖考探究考点4一元二次方程的应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率＝增量÷基础量；(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，a(1－m)n＝b利率问题(1)本息和＝本金＋利息；(2)利息＝本金×利率×期数销售利润问题(1)毛利润＝售出总额－进货总额；(2)纯利润＝售出总额－进货总额－其他费用；(3)利润率＝利润÷进货价×100%第7课时┃一元二次方程及其应用皖考解读考点聚焦皖考探究探究一一元二次方程的有关概念皖考探究命题角度：根据一元二次方程的根的概念求一元二次方程的另一个根或未知系数的值．例1[2014·陕西]若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－52ax＋a2＝0的一个根，则a的值为()A．1或4B．－1或－4C．－1或4D．1或－4第7课时┃一元二次方程及其应用B皖考解读考点聚焦皖考探究方法点析适合一元二次方程的未知数的取值叫做一元二次方程的一个根，故把方程的根代入原方程即可求出待定字母的值．第7课时┃一元二次方程及其应用解析由于x＝－2是关于x的一元二次方程x2－52ax＋a2＝0的一个根，因此(－2)2－52a·(－2)＋a2＝0，a2＋5a＋4＝0，解得a＝－1或a＝－4.皖考解读考点聚焦皖考探究变式题[2014·曲靖]已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．第7课时┃一元二次方程及其应用x＝－1解析方法一：将x＝4代入一元二次方程x2－3x＋c＝0先求出c的值，得出一元二次方程，然后再解方程求出另一个根；方法二：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.皖考解读考点聚焦皖考探究探究二一元二次方程的解法命题角度：用一元二次方程的四种解法“直接开平方法”“配方法”“公式法”“因式分解法”解方程．例2[2014·永州]方程x2－2x＝0的根是________________．第7课时┃一元二次方程及其应用x1＝0，x2＝2解析由x2－2x＝0，可得x(x－2)＝0，∴x＝0或x－2＝0，∴x1＝0，x2＝2.皖考解读考点聚焦皖考探究例3[2014·徐州]解方程：x2＋4x－1＝0.第7课时┃一元二次方程及其应用解：方法一：(配方法)x2＋4x＝1，(x＋2)2＝5，x＋2＝±5，x＝±5－2，∴x1＝5－2，x2＝－5－2.方法二：(公式法)a＝1，b＝4，c＝－1，∵b2－4ac＝42－4×1×(－1)＝20，∴x＝－4±202＝－2±5，∴x1＝5－2，x2＝－5－2.皖考解读考点聚焦皖考探究方法点析1．配方法适合解所有的方程；直接开平方法适合解左边是完全平方式，右边是非负数的方程；因式分解法适合解左边能因式分解，右边是0的方程．一般优先考虑使用直接开平方法和因式分解法，然后考虑公式法，一般不采用配方法．2．用公式法解一元二次方程，应先化为一般形式，明确a，b，c和b2－4ac的值，再代入求根公式求解．第7课时┃一元二次方程及其应用皖考解读考点聚焦皖考探究易错提示利用因式分解法解一元二次方程时，当等号两边含有相同的因式时，不能先约去这个因式，否则会出现失根的错误，如：解方程2(x－3)＝3x(x－3)，不能直接约去(x－3)这个因式．第7课时┃一元二次方程及其应用皖考解读考点聚焦皖考探究探究三一元二次方程根的判别式命题角度：1．判别一元二次方程根的情况；2．求一元二次方程字母系数的取值范围．例4[2014·汕尾]已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．第7课时┃一元二次方程及其应用皖考解读考点聚焦皖考探究易错提示注意二次项系数不为零这个隐含条件．解：(1)已知1为原方程的一个根，则1＋a＋a－2＝0，得a＝12.将a＝12代入方程，得x2＋12x－32＝0，(x－1)(x＋32)＝0，∴x1＝1，x2＝－32，所以另一根为－32.(2)在x2＋ax＋a－2＝0中，Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋40，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．例4[2014·汕尾]已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．变式题[2013·北京]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k.∵方程有两个不相等的实数根，∴20－8k0，∴k52.(2)∵k为正数，∴0k52(且k为整数)，即k为1或2，∴x1，2＝－1±5－2k.∵方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．当k＝1时，5－2k＝3；当k＝2时，5－2k＝1.∴k＝2.探究四一元二次方程的应用命题角度：1．用一元二次方程解决增长率问题：a(1＋m)2＝b；2．用一元二次方程解决商品销售问题．例5电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据安庆市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．(1)求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率；(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元？第7课时┃一元二次方程及其应用皖考解读考点聚焦皖考探究解：(1)设该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为x，依据题意得150(1＋x)2＝216，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．答：该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为20%.例5电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据安庆市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．(1)求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率；(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元？(2)该品牌电动车2月份的销量为150×(1＋20%)＝180(辆)，∴该品牌电动车1至3月份的销量为150＋180＋216＝546(辆)，∴该经销商1至3月共盈利为546×(2800－2300)＝273000(元)．答：该经销商1至3月共盈利为273000元．方法点析①一般设增长率(降低率)为x，而不设为x%.这是为了计算方便，但求出结果后要转化为百分数．②求增长率的等量关系：增长后的量＝(1＋增长率)增长的次数×增长前的量；求降低率的等量关系：降低后的量＝(1－降低率)降低的次数×降低前的量．第7课时┃一元二次方程及其应用皖考解读考点聚焦皖考探究变式题[2014·昆明]某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为()A．144(1－x)2＝100B．100(1－x)2＝144C．144(1＋x)2＝100D．100(1＋x)2＝144第7课时┃一元二次方程及其应用D解析由于该果园水果产量的年平均增长率为x，则2012年的水果产量为100(1＋x)吨，2013年水果产量为(1＋x)2吨，根据相等关系可建立一元二次方程100(1＋x)2＝144，故选D.皖考解读考点聚焦皖考探究