导数复习小结二

第一章导数小结与复习（2）导数复习与小结二•函数的单调性与极值最值的应用•简单的含参讨论•含参的恒成立，有解问题•方程的根的个数问题、直线与曲线的交点问题例4.已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．解(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝23时，得a＝f′23＝3×232＋2a×23－1，解之，得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.则f′(x)＝3x2－2x－1＝3x＋13(x－1)，列表如下：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间是－13，1.(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．例5.设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－34，即m的最大值为－34.(2)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)=0x12f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a；当x＝2时，f(x)取极小值，f(2)＝2－a，作出函数的示意图故当f(2)0或f(1)0时，f(x)＝0仅有一个实根．解得a2或a52.(,1)(1,2)(2,)例6.已知函数247(),[0,1].2xfxxx（Ⅰ）求()fx的单调区间和值域；（Ⅱ）设1a，函数32()32,[0,1],gxxaxax10[0,1][0,1],xx若对于任意总存在使得01()()gxfx成立，求a的取值范围.（I）解：224167()(2)xxfxx2(21)(27)(2)xxx令得'()0,fx17.22xx或列表如下：列表如下：＋－001x()fx'()fx121(0,)21(,1)247231(0,)2x当时，f(x)是减函数；1(,1)2x当时，f(x)是增函数.[0,1]x当时，f(x)的值域为[－4，－3].（II）32()32,[0,1],gxxaxax22()3().gxxa1,a(0,1)x当时，2()3(1)0.gxa(0,1)x当时，g(x)是减函数.[0,1]x当时，()[(1),(0)].gxgg2(1)123,(0)2,gaaga又[0,1]x即当时，有2()[123,2].gxaaa1[0,1],x1()[4,3],fx0[0,1],x使得01()(),gxfx则2[123,2][4,3].aaa21234,23.aaa即①②解①式得51;3aa或解②式得3.2a故a的取值范围为1,a31.2a解：(1),)('xaxxf∵x＝2是一个极值点，f(x)＝x2－alnx(a∈R),(0)x'(2)20,2af4.a此时4'()fxxx24xx(2)(2)xxx∵f(x)的定义域是{x|x0}，∴当0x2时，f’(x)0；当x2时，f’(x)0.∴当a＝4时，x＝2是f(x)的极小值点．∴a＝4.例7．已知函数f(x)＝12x2－alnx(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x1时，12x2＋lnx23x3.解：(2)'(),afxxx∴当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．(0)x当a0时，'()afxxx2xax()()xaxax令f’(x)0有.xa∴函数f(x)的单调递增区间为(＋∞)；,a令f’(x)0有0.xa函数f(x)的单调递减区间为(0，).a例7．已知函数f(x)＝12x2－alnx(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x1时，12x2＋lnx23x3.证明：设g(x)＝23x3－12x2－lnx，(3)求证：当x1时，12x2＋lnx23x3.当x1时，xxxxg12)('2则2(1)(21)xxxx'()0,gx∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数．()(1)gxg160,∴当x1时，12x2＋lnx23x3.课后作业2.《乐学》1.5.21.复习参考题A组6--10