2020届江苏省常州市高三上学期期末数学试题(解析版)

第1页共24页2020届江苏省常州市高三上学期期末数学试题一、填空题1．已知集合1,0,1A，2|0Bxx，则AB______.【答案】1,1【解析】求出集合B，即可得出AB【详解】∵集合2|0Bxx∴集合|0Bxx∵集合1,0,1A∴1,1AB故答案为：1,1.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若复数z满足1zii（i是虚数单位），则z的实部为______.【答案】-1【解析】设zabi，再代入已知等式中计算解得a，b的值，即可求出z的实部.【详解】设zabi∵1zii∴1abiii∴1baii∴1b，1a故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部与实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．下图是一个算法的流程图，则输出的S的值是______.第2页共24页【答案】10【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】经过第一次循环得到结果为1S，3i此时不满足判断框的条件；经过第二次循环得到结果为21310S，5i此时满足判断框的条件.执行输出S，即输出10．故答案为：10.【点睛】本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．4．函数21xfx的定义域为________．【答案】0,【解析】由题意得210x，解不等式求出x的范围后可得函数的定义域．【详解】由题意得210x，解得0x，∴函数fx的定义域为0,．故答案为0,．【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域，实质上就是求解析式中自变量的取值范围，解题时要根据解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后可得结果．5．已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是______.第3页共24页【答案】2【解析】先求出该组数据的平均值，再根据方差的公式计算即可.【详解】一组数据17，18，19，20，21的平均数为1718192021195x∴该组数据的方差为：222221719181902019211925S故答案为：2.【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为______.【答案】710【解析】先求出基本事件总数为2510nC，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327mCCC，由此能求出该同学“选到文科类选修课程”的概率．【详解】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，基本事件总数为2510nC，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327mCCC.∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是710mpn.故答案为：710.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知函数231,01,0xxxxfx，则8ff______.【答案】15第4页共24页【解析】先求出23884f,则84fff，由此能求出答案.【详解】∵函数231,01,0xxfxxx∴23884f∴1184415fff故答案为：15.【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．函数3sin23yx，0,x取得最大值时自变量x的值为______.【答案】12【解析】令2232xkkZ，解得12xkkZ，再根据0,x，即可确定自变量x的值.【详解】令2232xkkZ，解得12xkkZ.∵0,x∴12x故答案为：12.【点睛】本题考查的知识要点为正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．等比数列na中，若11a，24a，32a，4a成等差数列，则17aa______.【答案】64【解析】根据题意设等比数列na的公比为q，再根据24a，32a，4a成等差数列结合等比数列的通项公式，即可求出q的值，从而可求出17aa的值.第5页共24页【详解】设等比数列的公比为0qq.∵24a，32a，4a成等差数列24344aaa∴3211144aqaqaq∴∵11a∴3244qqq∵0q∴2q=∴266171264aaaq故答案为：64.【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10．已知cos22cos，则tan2______.【答案】22【解析】利用诱导公式化简三角函数式求得tan的值，再利用二倍角的正切公式，求得结果．【详解】∵sintan2cocos2coss∴22tan22tan2221tan1故答案为：22.【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式、二倍角的正切公式的应用，属于基础题．第6页共24页11．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：222210,0xyabab的右顶点为A，过A作x轴的垂线与C的一条渐近线交于点B，若2OBa，则C的离心率为______.【答案】2【解析】求出右顶点A，以及双曲线的渐近线方程，令xa，求得B的坐标，由两点的距离公式和离心率公式，可得所求值．【详解】∵双曲线C：222210,0xyabab的右顶点为A∴(,0)Aa，且双曲线的渐近线方程为byxa根据渐近线方程的对称性，设其中一条渐近线为0bxay.∵过点A作x轴的垂线与C的一条渐近线交于点B∴(,)Bab∵2OBa∴222OBabca∴2cea故答案为：2.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,ac，代入公式cea；②只需要根据一个条件得到关于,,abc的齐次式，转化为,ac的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)．12．已知函数lg2fxx，互不相等的实数a，b满足fafb，则4ab的最小值为______.【答案】14【解析】由对数的运算性质可得(2)(2)1ab，2b，再把4ab转化为14(2)102bb，借助于基本不等式即可求解.【详解】第7页共24页∵函数lg2fxx，互不相等的实数a，b满足fafb∴lg2lg2ab，即lg2lg20ab，且2b.∴(2)(2)1ab∴122ab∴1114424(2)1024(2)1014222abbbbbbb，当且仅当52b时取等号.∴4ab的最小值为14.故答案为：14.【点睛】本题考查最值求法，注意运用对数的运算性质和基本不等式的最值求法.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13．在平面直角坐标系xOy中，圆C：22222210xaxyaya上存在点P到点()0,1的距离为2，则实数a的取值范围是______.【答案】117117,01,22【解析】根据题意，求得圆C的圆心与半径，求出以点0,1为圆心，半径为2的圆的方程，分析可得，若圆C：22222210xaxyaya上存在点P到点0,1的距离为2，则圆C与圆2214xy有交点，结合圆与圆的位置关系分析可得答案．【详解】∵圆C：22222210xaxyaya∴221xaya，其圆心,Caa，半径1r.∵点P到点0,1的距离为2∴P点的轨迹为:22(1)4xy第8页共24页∵P又在22()()1xaya上∴圆C与圆2214xy有交点，即2221(1)21aa.∴11702a或11712a∴实数a的取值范围是117117,01,22故答案为：117117,01,22.【点睛】本题考查实数值、两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14．在ABC中，3A，点D满足23ADAC，且对任意xR，xACABADAB恒成立，则cosABC______.【答案】51326【解析】根据题意，设2ADt，则3ACt，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析可得BDAC，即2ADB，进而可得AB、BC的值，结合余弦定理计算可得答案．【详解】根据题意，在ABC中，点D满足23ADAC.设2ADt，则3ACt.∵ADABBD∴对任意xR，xACABADAB恒成立，必有BDAC，即2ADB，如图所示.∵3A∴24ABADt，323BDADt∴2213BCBDDCt.第9页共24页∴222513cos226ABBCACABCABBC故答案为：51326.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，涉及向量加减法的几何意义以及余弦定理的应用，属于综合题．二、解答题15．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1a，3cos3B.（1）若3A，求sinC的值；（2）若2b，求c的值.【答案】（1）366（2）3c【解析】（1）在ABC中，sin0B，可得2sin1cosBB,再根据sinsinsin3CABB，即可求出sinC；（2）由余弦定理可得：2222cosbaacBc，即可推出3303cc，从而求得c的值.【详解】（1）在ABC中，0B，则sin0B，因为3cos3B，所以2236sin1cos133BB.在ABC中，ABC，所以sinsinsinCABAB，第10页共24页所以sinsinsincoscossin333CBBB33163623236.（2）由余弦定理得2222cosbaacBc，则2232123cc，所以223103cc，3303cc，因为303c，所以30c，即3c.【点睛】本题主要考查余弦定理，根据条件建立边角关系是解决本题的关键.解三角形问题的技巧：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦定理、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即“统一角、统