第二章-随机变量及其概率分布(复习)

一、重点与难点二、主要内容第二章随机变量及其分布三、往年考题一、重点与难点1.重点(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、密度函数及有关区间概率的计算2.难点连续型随机变量的概率密度函数的求法,.,(),(),.EeXeXe定义设是随机试验它的样本空间是如果对于每一个有一个实数与之对应这样就得到一个定义在上的单值实值函数称随机变量随机变量随机变量通常用Ｘ，Ｙ，Ｚ，．．．来表示二、主要内容随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的分类离散型(1)离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.随机变量连续型非离散型其它(2)连续型随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量...,2,1,}{,}{,),,2,1(的分布律称此为离散型随机变量为的概率即事件取各个可能值的概率所有可能取的值为设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk离散型随机变量的分布律(1)定义Xkpnxxx21nppp21;,2,1,010kpk;1210kkp(2)说明律也可表为离散型随机变量的分布03设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为Xkp0p11p则称X服从(0-1)分布或两点分布.两点分布称这样的分布为二项分布.记为~(,)XBnp的分布律为X)10,,,2,1,0(pnk二项分布1n两点分布二项分布1101nnkknknknnXknpqCpqCpqp0,1,2,,e{},0,1,2,,!0.,~P().kPXkkkXX设随机变量所有可能取的值为而取各个值的概率为其中是常数则称服从参数为的泊松分布记为泊松分布).,(,,)10(),,2,1(,,0,1,,,)10(21pnXXXXniiiXpnni参数为服从二项分布那末分布并且相互独立它们都服从次试验失败若第次试验成功若第设每次试验成功的概率为立重复伯努里试验次独对于分布的推广二项分布是{},0,1,2,...,01,1kknkknpPXkCpqknppq其中二项分布的泊松逼近泊松定理设0是常数，n是任意正整数，且=np，则对于任意取定的非负整数k，有lim(1)!kkknknnCppek由泊松定理若n很大p很小时，且=np，则有{}(1)!kkknknPXkCppek}.02{,87,45,23,1,5,2,0,2XXPaaaaX试求概率相应的概率依次为的可能取值为已知离散型随机变量利用概率分布律的性质解,1iip例1aaaapii87452311有,837a,837a故典型例题}.02{,87,45,23,1,5,2,0,2XXPaaaaX试求概率相应的概率依次为的可能取值为已知离散型随机变量解例1典型例题因此X的分布律为XP520237837123710377X的分布律为XP520237837123710377而}0{}0,2{}02{XPXXPXXP}5{}2{}0{}2{}0{XPXPXPXPXP.2922例2袋子中有５个同样大小的球，编号为１~５，从中同时取出３个球，记Ｘ为取出的球的最大编号，求Ｘ的分布律.解Ｘ的可能取值为３，４，５23353(4),10CPXC3511(3),10PXC24356(5)10CPXC则Ｘ的分布律为XP345136101010例3对一目标连续进行射击，直到击中目标为止。如果每次射击的命中率为p，求射击次数X的分布律。解Ｘ的可能取值为１，２，３，…..(1,2,3,4)iAii设表示“第次射击未中”事件{X=k}表示“前k-1次射击未中，第k次命中”121{}...kkXkAAAA则1211121{}(...)()()...()()(1),1,2,...kkkkkkpPXkPAAAAPAPAPAPAppk又每次射击命中与否是相互独立的，则X的分布律为例4设5~(2,),~(3,),{1}9XBpYBpPX设{0}PY求解{1}PX由1{0}PX00221(1)Cpp59得13p{0}PY又由0033(1)Cpp827例5设随机变量Ｘ服从泊松分布，且已知求{1}{2}PXPX{4}PX解设Ｘ服从参数为λ的泊松分布．则1{1},1!PXe2{2}2!PXe由已知得121!2!ee解得242222{4}4!3PXee则(2)说明.}{)(,,的分布函数称为函数是任意实数是一个随机变量设XxXPxFxX随机变量的分布函数(1)定义分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.);,(,1)(010xF);(),()(221210xxxFxF,0)(lim)(30xFFx()lim()1;xFFx);(),()(lim40000xxFxFxx即任一分布函数处处右连续.(3)性质),()(}{aFbFbXaP).(1}{aFaXP(4)重要公式{}()PXbFb例6设随机变量X的分布函数为,0()0,0xabexFxx其中为常数，求常数ab和的值0解1,a=则又1F（+）=limlim()xxxFFabea（+）=(x)=由此得到1b=-00(00)limlim()0xxxFFabeab(x)=又F(x)右连续，得到(00)(0)0FF典型例题(1){1232}(2){12}(3){32}PXPXPX0,0,3,01,()2,12,1,2,xxxFxxxx例7设随机变量X的分布函数为求(1){1232}PX(3){32}PX(2){12}PX(3/2)(1/2)FF3/41/67/12解：1{1/2}1(1/2)PXF11/65/6(3/2)3/4FxxkkpxXPxF}{)(分布函数分布律}{kkxXPp离散型随机变量分布律与分布函数的关系说明:分布函数本质上是一种累计概率.当X-1时，例8已知离散型随机变量Ｘ的分布律为求X的分布函数。解：XP-10120.20.10.30.4xo121F(x)=P{Xx}=0当-1X0时，F(x)=P{Xx}=P{X=-1}=0.2当0X1时，F(x)=P{Xx}=P{X=-1}+P{X=0}=0.2+0.1=0.3当1X2时，F(x)=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6当2X时，F(x)=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1.,,,21}2{.2,,21,32,11,,1,0)(的分布律并求试确定常数且的分布函数为设离散型随机变量XbaXPxbaxaxaxxFX[思路]首先利用分布函数的性质求出常数a,b,再用已确定的分布函数来求分布律.解:)(的性质利用分布函数xF例9()1,F由1{2}2PX由)32()(aba,322ba1.ab得.65,61ba由此解得.2,1,21,21,11,61,1,0)(xxxxxF因此有从而X的分布律为XP211213161.,)(,,d)()(,),(简称概率密度率密度函数的概称为其中为连续型随机变量则称有使对于任意实数非负函数存在的分布函数如果对于随机变量XxfXttfxFxxFXx连续型随机变量的概率密度(1)定义;0)(1oxf.1d)(2oxxf)()(}{31221oxFxFxXxP.d)(21xxfxx.)()(,)(4oxfxFxxf则有处连续在点若(2)性质注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即.0}{aXP由此可得连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关}{bXaP}{bXaP}{bXaP{}()()PaXbFbFa20,0,(),01,1,1.:(1);(2){0.30.7};设随机变量的分布函数为求随机变量的概率密度XxFxxxxXPX例10解1()随机变量的概率密度为X2010,,,.其它xx)()(xFxf(0.7)F220.70.3(2){0.30.7}PX(0.3)F0.42-14,||1()0,||1:(1);(2)(-3,1/2)例设随机变量的概率密度为求常数落入的概率。XcxfxxcX解:由概率密度的性质,+-()=1fxdx+-11---11()=00fxdxdxcdx+dx21c=故12c/{31/2}PX1/23()fxdx11/23101/2dxdx3/4例11215,01()2,120,().例设随机变量的概率密度为其他求的分布函数XxxfxxxXFx解:当x0时,()()0xFxftdt当0x1时,()()xFxftdt202xxtdt当1x2时,()()xFxftdt101(2)xtdttdt2212xx当x2时,()()xFxftdt1201(2)tdttdt1例12221,0,012()21,1221,2xxxFxxxxx所以X的分布函数为例13设某种型号的电子元件的寿命X（以小时计），具有以下的概率密度2100010000,(),其他xfxx现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立），问（1）任取1件，其寿命大于1500小时的概率是多少？（2）任取4件，4个元件中恰有2个元件的寿命大于1500小时的概率是多少？（3）任取4件，4个元件中至少有1个元件的寿命大于1500小时的概率是多少？例13设某种型号的电子元件的寿命X（以小时计），具有以下的概率密度2100010000,(),其他xfxx现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立），问（1）任取1件，其寿命大于1500小时的概率是多少？解(1){1500}PX215001000dxx15001000()x231500()fxdx（2）任取4件，4个元件中恰有2个元件的寿命大于1500小时的概率是多少？各元件工作相互独立，令Y表示4个元件中寿命大于1500小时的元件个数，则2~(4,)3YB所求的概率为{2}PY2224218()()3327C（3）任取4件，4个元件中至少有1个元件的寿命大于1500小时的概率是多少？所求的概率为{1}PY1{0}PY0044211()()33C18018181).,(~,),(,,0,,1)(baUXbaXbxaabxfX记为区间上服从均匀分布在区间则称其它具有概率密度　　设连续型随机变量均匀分布(1)定义.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxF(2)分布函数均匀分布的概率计算中有一个概率公式:dcP{cXd}baX~Ua,b),acdb,（设[,][,]cdab即则分布函数1e,0,()0,0.xxFxx指数分布0000e,,(),.,.~－定义设连续型随机变量的概率密度为其中为常数则称