14.1-平面及其基本性质

平面及其基本性质1、平面及其表示方法引言：建造厂房、制造机器、修筑堤坝等，都需要进一步研究空间图形的问题。LinesandPlanesinSpace•作用地位：空间直线与平面是建立空间几何的基础。•教育价值：发展学生的空间想象力，培养学生将平面几何的知识向空间拓展的能力和将空间的问题转化到平面上解决的能力。一、平面1．平面的三个特征：①平的②没有厚度③无限延展平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性.一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分.点没有大小，直线没有粗细，平面没有厚度．这都是数学上的抽象．2、平面的表示方法符号表示：（1）一个大写字母（2）小写的希腊字母（3）平面上三个（或3个以上）点3．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面(1)一个平面：垂直放置、水平放置、斜放；M当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45度横边画成邻边的2倍长(2)直线与平面相交，如图(3)表示两平面相交的画法；被遮住的部分画为虚线（或不画）lAαlaβαaβαBAβBAαβBAααβa图2请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．(4)(3)(2)(1)空间图形是由点、线、面组成的•空间图形的基本元素是点、直线、平面•从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合。点A在平面内，记作：A点B在平面外，记作：B4、点线面之间的位置关系图形符号语言文字语言（读法）点A在直线a上点A不在直线a上点A平面α内点A不在平面α内直线a,b相交与A直线a在平面α内直线a与平面α无公共点直线a与平面α交于一点两个平面α,β交于直线lAaAaAaAaAAAAbaAabA奎屯王新敞新疆aaØ奎屯王新敞新疆aaaAaAl,_______)1(1A_______1B,_______)2(1B_______1C,_______)3(1A_______1D正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面，分别记作，试用适当的符号填空．111111,,CBBACA、、11_______)4(BA1_______BB,________)5(11BA________1BB________11BA练习讲解范例：例1将下列符号语言转化为图形语言：（1）ABAlBl（2）aØbØ//acbcAc例2将下列文字语言转化为符号语言：（1）点A在平面内，但不在平面内（2）直线a经过平面外的一点M。（3）直线l在平面内，又在平面内课堂小结1、什么叫平面？2、怎样用数学符号表示点、直线与平面的位置关系？3、怎样用文字语言表示点、直线与平面的位置关系？4、怎样用图形语言表示点、直线与平面的位置关系？回家作业•1、完成点线面位置关系的表格预习写出三个公理•2、习题14.1A组1习题14.1B组1，2•3、画一个正方体2．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．(2),lmAØl)3(思考题：几位同学一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示），14.1平面及其基本性质2、平面基本性质公理1如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．二、平面的基本性质书上第６页例１,,,AlBlABl且Ø实际应用：数学应用：判定直线在平面上的方法要证明一条直线在一个平面上，只要证明它有两点在这个平面上如果两条不重合的直线有公共点，则其公共点只有一个.如果两个不重合的平面有公共点，其公共点有多少个？如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B？为什么？BB两相交平面的公共部分的特点：有无穷多点，而且是直线。类比思考：公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线．,PlPl实际应用：数学应用：确定两平面相交的依据，证明点在线上的依据，判断多点共线的依据.两个平面的位置关系经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。两点能否确定一个平面？不能三点呢？不一定类比思考：类比1：四点呢？0个或1个或4个类比3：两条直线是否能确定一个平面？不一定类比2：一点和一条直线是否能确定一个平面？不一定确定一平面不共线CBACBA,,,,公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面实际应用：数学应用：确定平面确定平面的其他方法•推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面•推论2：两条相交直线确定一个平面•推论3：两条平行直线确定一个平面证明实际应用：数学应用：例题：已知直线l1、l2和l3两两相交，且三线不共点，求证：直线l1、l2和l3在同一平面上•因为l1、l2相交，所以l1、l2唯一确定一个平面α；因为l2和l3相交，所以和唯一确定一个平面α；所以三线共面。错误解法练习14.1（2）课堂小结•3个公理3个推论回家作业•证明公理3的推论2•习题14.1A组2，3，4，5习题14.1B组314.1平面及其基本性质3、习题课一、前两节知识的回顾：1、平面的画法；2、两个相交平面的画法；3、点、线和面之间的位置关系会用“三种”语言描述；立体几何中的数学符号点：用大写字母A、B、C、……表示线:用小写字母a、b、c、……表示面：用希腊字母α、β、γ、……表示或用表示图形特征的字母或对角线字母表示线面看成是点的集合，则点为集合中的元素，引入代数中集合的关系符号，便于表示例1用数学符号表达下面的图形AabAaAbAaAAba图1图2图3图7图5图4图6图8例2.用图形和符号描述公理1、2、3及推论1、2、3，公理1公理2公理3PCABABa推论1推论2推论3ABCabAba4、三个公理和三个推论：名称图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上有两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内公理2经过不在同一条直线上的三个点确定一个平面A、B、C不共线A、B、C∈平面α且α是唯一的公理3如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线若P∈α,P∈β,则α∩β=a,且P∈a,,,AlBlABl4、四个公理和三个推论：公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行若a∥b,b∥c,则a∥c公理2的推论推论1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面若点A直线a,则A和a确定一个平面α推论2两条相交直线确定一个平面a∩b=P有且只有一个平面α,使aα,bα推论3两条平行直线确定一个平面a∥b有且只有一个平面α,使aα,bα二、典型习题（一）概念的辨析1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”(1)可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm。（）(2)一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分．（）(3)一个平面的面积为20cm2．（）(4)一条直线和任意一点确定一个平面（）2、在下列命题正确的是（）①经过空间任意三点的平面有且只有一个;②有三个公共点的两个平面必重合;③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④三角形是平面图形;⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形⑥如果平面α与平面β相交,那么它们只有有限个公共点;⑦如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合；3、概念填空（1）一条直线与一个平面的公共点的个数可能值是_____（2）两两平行的三条直线可以确定__________个平面。（3）已知三个平面两两相交，且有三条交线。如果这三条交线中有两条交线相交，那么第三条交线必_______；如果这三条交线中有两条交线平行，那么第三条交线必____。（4）空间三个点可确定___个平面；空间四个点可确定___个平面；（5）两个不重合平面可以把空间分成_________部分。（6）三个平面可以把空间分成_________部分。4、三个平面关系的画法：6、正方体和长方体的画法：5.什么叫空间四边形，空间四边形的画法：DCBACDBA答：四个顶点不共面的四边形叫空间四边形。画法如下：7、画出或找出两个相交平面的交线例1、如图，在正方体中''''DCBAABCD''CCAA与（1）是否在同一平面？点B、D、C’是否在同一平面内？（2）画出平面ACC’A’与平面BC’D的交线；平面ACD’与平面BCD’的交线；例2、如图：空间四边形ABCD中，点M、N、P分别为线段AB、BD、CD的中点，点S在面ABC内，试分别画出:（1）过点D、A、S的平面与平面ABC和平面BDC的交线；（2）平面PMN与平面DSA的交线；（3）线段SD与过面M、N、P三点的截面的交点O.ACDBNPMS在四面体ABCD中呢？例1.在正方形ABCD-A’B’C’D’中，设A’C与平面ABC’D’交于Q,求证：B,Q,D’共线。ABCDA’B’C’D’Q8、会证明多点共线、多线共点、多线共面和多点共面例2.△ABC在平面α外，它的三边所在直线分别交平面α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线【分析】点共线问题例3.在正方体AC1中，G、H分别是B1C1、C1D1的中点,求证：(1)B、G、H、D四点共面.(2).BG与DH、CC1共点QCBAPRGDCBAH1D1C1B1AP【分析】(1)点共面问题(2)线共点问题方法：证明这些点在两平面的公共交线上(公理2)例3.在正方体AC1中，G、H分别是B1C1、C1D1的中点,求证：(1)B、G、H、D四点共面.(2).BG与DH、CC1共点B1BGDCAH1D1C1AP【分析】(1)点共面问题方法：①各点在两相交直线上(推论2)②各点在两平行直线上(推论3)【分析】(2)线共点问题方法：先证两直线相交于一点再证这点在过这两条直线的平面的交线上(该交线刚好是第三条直线)题型：证明三点共线【例2】已知△ABC的三个顶点都不在平面α内,它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面α于点P、Q、R.求证:P、Q、R三点在同一条直线上.分析要证明P、Q、R三点共线,只需证明这三点都在△ABC所在的平面和平面α的交线上即可.证明由已知条件易知,平面α与平面ABC相交.设交线为,即=α∩面ABC.∵P∈AB,∴P∈面ABC.又P∈AB∩α,∴P∈α,即P为平面α与面ABC的公共点,∴P∈.同理可证,点R和Q也在交线上.故P、Q、R三点共线于.lllll学后反思证明多点共线的方法是：以公理3为依据，先找出两个平面的交线，再证明各个点都是这两个面的公共点，即在交线上，则多点共线.或者，先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线，然后证明第三个点也在交线上.同理，其他的点都在交线上，即多点共线.举一反三2.如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上的点,且直线EF和GH交于点P,如图所示.求证:点B、D、P在同一条直线上.证明由于直线EF和GH交于点P,∴P∈EF,又∵EF平面ABD,∴P∈平面ABD.同理,P∈平面CBD.∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD上,即B、D、P三点在同一条直线上.题型：证明多线共面【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.分析由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明.要证明四线共面，先根据公理2的推论证两条直线共面，然后再证第三条直线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.证明(1)如图,设直线a,b,c相交于点O,直线d和a,b,c分别相交于A,B,C三点,直线d和点O确定平面α,由O∈平面α,A∈平面α,O∈直线a,A∈直线a,知直线a平面α.同理b平面α,c平面α,故直线a,b,c,d共面于α.(2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任何三线不共点,交点分别是M,N,P,Q,R,G,由