管理运筹学 线性规划、对偶理论和灵敏度分析

OR11OPERATIONSRESEARCH运筹学——应用运筹学不能把事情做得最好,但不应用运筹学会使事情做得更糟糕.123OR12第0章绪论1.1题解Operations汉语翻译工作、操作、行动、手术、运算OperationsResearch日本——运用学港台——作业研究中国大陆——运筹学OperationalResearch原来名称，意为军事行动研究——历史渊源OR13绪论0.2运筹学的历史早期运筹思想：田忌赛马丁渭修宫沈括运粮Erlang1917排队论Harris1920存储论Levinson1930零售贸易康脱洛维奇1939LPOR14绪论0.2运筹学的历史军事运筹学阶段德军空袭防空系统Blackett运输船编队空袭逃避深水炸弹轰炸机编队OR15绪论0.2运筹学的历史管理运筹学阶段战后人员三分:军队、大学、企业大学：课程、专业、硕士、博士企业：美国钢铁联合公司英国国家煤炭局运筹学在中国：50年代中期引入华罗庚推广优选法、统筹法中国邮递员问题、运输问题OR160.3学科性质应用学科Morse&Kimball定义：运筹学是为决策机构在对其控制的业务活动进行决策时提供的数量化为基础的科学方法。Churchman定义：运筹学是应用科学的方法、技术和工具，来处理一个系统运行中的问题，使系统控制得到最优的解决方法。中国定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。OR170.4定性与定量例：店主进货两者都是常用的决策方法定性是基础，定量是工具，定量为定性服务。定性有主观性也有有效性，定量有科学性也有局限性。管理科学的发展，定量越来越多。但定量不可替代定性。OR180.5运筹学的模型模型：真实事物的模仿，主要因素、相互关系、系统结构。形象模型：如地球仪、沙盘、风洞模拟模型：建港口，模拟船只到达。学生模拟企业管理系统运行。数学模型：用符号或数学工具描述现实系统。V=F（xi,yj,uk)G(xi,yj,uk)≥0OR190.6运筹学的学科体系规划论：线性规划、非线性规划|、整数规划、目标规划、动态规划图论与网络存储论排队论决策论对策论计算机仿真OR1100.7运筹学的工作步骤确定问题搜集数据建立模型检验模型求解模型结果分析结果实施OR1110.8运筹学与计算机计算机为运筹学提供解题工具。要学会解题的思路与方法，建立模型很重要。有相应的软件包.OR112第1章线性规划与单纯形法1.1LP(linearprogramming)的基本概念LP是在有限资源的条件下，合理分配和利用资源，以期取得最佳的经济效益的优化方法。LP的三要素：一组有待决策的变量，一个线性的目标函数，一组线性的约束条件。OR1131.1.1LP的数学模型例题1—生产计划问题某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗系数如下表：产品A产品B资源限量劳动力设备原材料9434510360200300利润元/kg70120OR114例题1建模问题：如何安排生产计划，使得获利最多？步骤：1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X23、确定约束条件：人力约束9X1+4X2≤360设备约束4X1+5X2≤200原材料约束3X1+10X2≤300非负性约束X1≥0X2≥0OR115例题2——配方问题养海狸鼠饲料中营养要求：VA每天至少700克，VB每天至少30克，VC每天刚好200克。现有五种饲料，搭配使用，饲料成分如下表：饲料VaVbVc限量价格元/KGIIIIIIIVV32161810.50.220.50.510.220.8506050704027495营养要求70030200OR116例题2建模设抓取饲料Ix1kg;饲料IIx2kg;饲料IIIx3kg……目标函数：最省钱minZ=2x1+7x2+4x3+9x4+5x5约束条件：3x2+2x2+x3+6x4+18x5≥700营养要求：x1+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5≥300.5x1+x2+0.2x3+2x4+0.8x5=200用量要求：x1≤50,x2≤60,x3≤50,x4≤70,x5≤40非负性要求：x1≥0,x2≥0,x3≥0,x4≥0,x5≥0OR117例题3：人员安排问题医院护士24小时值班，每次值班8小时。不同时段需要的护士人数不等。据统计：序号时段最少人数安排人数106—1060X1210—1470X2314—1860X3418—2250X4522—0220X5602—0630x6OR118例题3建模目标函数：minZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件：x1+x2≥70x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30非负性约束：xj≥0,j=1,2,…6OR119归纳：线性规划的一般模式目标函数：max(min)Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn约束条件：a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn≤(=≥)b1a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn≤(=≥)b2…………am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn≤(=≥)bn非负性约束：x1≥0,x2≥0,…,xn≥0OR1201.1.2线性规划图解法由中学知识可知：y=ax+b是一条直线，同理：Z=70x1+120x2→x2=70/120x1-Z/120也是一条直线，以Z为参数的一族等值线。9x1+4x2≤360→x1≤360/9-4/9x2是直线x1=360/9-4/9x2下方的半平面。所有半平面的交集称之为可行域，可行域内的任意一点，就是满足所有约束条件的解，称之为可行解。OR121例1图示.9080604020020406080100x1x29x1+4x2≤3604x1+5x2≤2003x1+10x2≤300ABCDEFGHIZ=70x1+120x2OR122概念概念：1、可行解：满足所有约束条件的解。2、可行域：即可行解的集合。所有约束条件的交集，也就是各半平面的公共部分。满足所有约束条件的解的集合，称为可行域。3、基解：约束条件的交点称为基解（直观）4、基可行解：基解当中的可行解。5、凸集：集合内任意两点的连线上的点均属于这个集合。如：实心球、三角形OR123可行解基解基可行解三种解的关系：OR124结论可行域是个凸集可行域有有限个顶点最优值在可行域的顶点上达到无穷多解的情形无界解情形无解情形OR1251.1.3线性规划的标准型代数式maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxna11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2………am1x1+am2x2+…+amnxn=bmxj≥0j=1,2,…,nOR126线性规划的标准型和式：maxZ=∑cjxj∑aijxj=bii=1,2,…,mxj≥0j=1,2,…,nj=1nnj=1OR127线性规划的标准型向量式：maxZ=CX∑pjxj=bii=1,2,…,mxj≥0j=1,2,…,nC=(c1,c2,c3,…,cn)X=(X1,X2,X3,…,Xn)Tnj=1OR128线性规划的标准型矩阵式：maxZ=CXAX=bX≥0其中：b=(b1,b2,…,bm)Ta11a12….a1nA=a21a22…a2n………am1am2…amnOR129标准型的特征目标函数极大化约束条件为等式决策变量非负OR130非标准型转化为标准型目标函数极小化转为极大化：minZ=－max(－Z)，一个数的极小化等价于其相反数的极大化。不等式约束的转化：∑aijxj≤bi加入松弛变量∑aijxj≥bi减去剩余变量非正变量：即xk≤0则令x’k=－xk自由变量：即xk无约束，令xk=x’k－x”kOR131非标准型转化举例之一maxZ=70X1+120X2maxZ=70X1+120X29X1+4X2≤3609X1+4X2+X3=3604X1+5X2≤2004X1+5X2+x4=2003X1+10X2≤3003X1+10X2+x5=300X1≥0X2≥0Xj≥0j=1,2,…,5OR132非标准型转化举例之二minZ=x1+2x2-3x3maxZ’=x’1－2x2+3(x’3－x”3)x1+x2+x3≤9－x’1+x2+x’3－x”3+x4=9-x1-2x2+x3≥2x’1－2x2+x’3－x”3-x5=23x1+x2-3x3=5－3x’1+x2－3(x’3－x”3)=5x1≤0x2≥0x3无约束x’1≥0x2≥0x’3≥0x”3≥0x4≥0x5≥0OR1331.1.4基可行解基的概念：如前所述LP标准型和式：maxZ=∑cjxj∑aijxj=bixj≥0j=1,2,…,n矩阵式：maxZ=CXAX=bX≥0约束方程的系数矩阵A的秩为m，且mn。设A=B+N，B是A中mm阶非奇异子矩阵，则称B是LP的一个基，即：B是A中m个线性无关向量组。nj=1nj=1OR134基解的概念不失一般性,设B是A的前m列,即B=(p1,p2,…,pm）,其相对应的变量XB=(x1,x2,…,xm)T,称为基变量；其余变量XN=(Xm+1,…,Xn)T称为非基变量。令所有非基变量等于零,则X=（x1,x2,…xm,0,…,0)T称为基解。OR135基可行解的概念基可行解：基解可正可负，负则不可行（违背非负性约束条件），称满足所有约束条件的基解为基可行解。退化的基可行解：若某个基变量取值为零，则称之为退化的基可行解。基解的数目：最多Cmn=n!/m!(n-m)!OR136例题6基可行解说明maxZ=70X1+120X2P1P2P3P4P59X1+4X2+X3=360941004X1+5X2+x4=200A=450103X1+10X2+x5=300310001Xj≥0j=1,2,…,5这里m=3,n=5。Cmn=10OR137例题6基可行解说明基（p3,p4,p5），令非基变量x1,x2=0，则基变量x3=360,x4=200,x5=300,可行解基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0,x3=0基变量x2=90,x4=－250,x5=－600.非可行解基（p2,p3,p4），令非基变量x1,x5=0，则基变量x2=30,x3=240,x4=50,可行解（P21图）OR1381.2单纯形法12.2.1初始基可行解的确定从系数矩阵中找到一个可行基B，不妨设B由A的前m列组成，即B=(P1,P2,……Pm)。进行等价变换－－约束方程两端分别左乘B－1得X1++a’1m+1xm+1+…+a’1nxn=b’1x2++a’2m+1xm+1+…+a’2nxn=b’2……………………………..xm+a’mm+1xm+1+…+a’mnxn=b’m令非基变量为0，得基可行解X(0)=(b1’，b2’，……bm，0，……0）Tz0=∑cibi’OR1391.2单纯形法1.2.2最优性检验：LP经过若干步迭代，成为如下形式：X1++a’1m+1xm+1+…+a’1nxn=b’1x1=b’1-∑a’1jxjx2++a’2m+1xm+1+…+a’2nxn=b’2x2=b’2-∑a’2jxj……………………………..……………..xm+a’mm+1xm+1+…+a’mnxn=b’mxm=b’m-∑a’mjxjOR140单纯形法一般性表示：xi=b’i-∑a’ijxji=1,2,…m将xi代入目标函数得：Z=∑cjxj=∑cixi+∑cjxj=∑ci（b’i-∑a’ijxj）+∑cjxj=∑cibi’+∑(cj-∑cia’ij)xj令：σj=cj-∑cia’ijz0=∑cibi’则Z=z0+∑σjxjσj判别准则：σj≤0时,达到最优解OR141单纯形法1.2.2基变换若存在σj≥0，则取max{σj}=σK，相应之非基