第18讲-数论综合二

第18讲数论综合二内容概述综合运用各种知识解决的较复杂数论问题；与二次不定方程、分式不定方程有关的数论问题。典型问题兴趣篇1.有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数，要使这4个数的和尽可能小，这4个数应该分别是多少？2.已知算式（1+2+3+…+n）+2007的结果可表示为n(n1)个连续自然数的和，请问：共有多少个满足要求的自然数n?3.有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4中。所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？4.甲、乙两人自然数的乘积比甲数的平方小2008。满足上述条件的自然数有几组？5.两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是多少？6.n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问：n最小是多少？7.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如221653，16就是一个“智慧树”，请问：从1开始的自然数列中，第2008个“智慧树”是多少？8.将100！-5分别除以2，3，4，…，100，可以得到99个余数（余数有可能为0）。这99个余数的和是多少？9.小悦、冬冬和阿奇三人经常去电影院，小悦每隔2天去一次，冬冬每隔4天去一次，阿奇每隔6天去一次，今天他们三人都去电影院，将来会有连续三天都有人去电影院。如果今天是第1天，那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天？10.有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、、9、8的倍数。这三个数中最小的一个是多少？拓展篇1.有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，加上168后也是一个完全平方数，这个正整数是多少？2.已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998.满足上述条件的数一共有多少组？3.冬冬往一条水池里扔石子。第一次扔1颗石子，第二次扔2颗石子，第三次扔3颗石子，第四次扔4颗石子……他准备扔到水池的石子总数是106的倍数。请问：冬冬最少需要扔多少次？4.数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦，聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数，同学们，你们知道这个数可能是多少吗？5.在一个正整数的所有约数中，个位数字为0，1，2，…，9的数都出现过，这样的正整数最小是多少？6.求最小的正整数n，值得2006+7n是完全平方数。7.请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列。8.有一些自然数，它们不能用三个不相等的合数之和来表示，这样的自然数中的最大一个是多少？9.有些数既能表示成5个连续自然数的和，又能表示成6个连续自然数的和，还能表示成7个连续自然数的和。例如：105就满足上述要求，105=19+20+21+22+23；105=15+16+17+18+19+20；105=12+13+14+15+16+17+18.请问：在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数？10.一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为连续自然数数列。现在设定指针第一秒转动的角度为a度（a为小于360的整数），则其第二秒转动a+1度，第三秒转动a+2度……如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么a一共有几种设定方法？最小可以被设成多少？11.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，3，…，12.。他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门派号码整除。已知这些电话的首位数字都小于6，并且门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除。请问：这一家的电话号码是多少？12.在等差数列1，8，15，22，29，36，43，…中，如果前n个数乘积的末尾0的个数比前n+1个数乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？超越篇1.有一些正整数，它可以表示成连续20个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少2个）的形式时，恰好有20种方法，这样的正整数最小是多少？（写出质因数分解）2.有些自然数可以表示成两个合数相乘再加一个合数的形式，例如：33=4×6+9.请问：不能表示成这种形式的自然数最大是多少？3.在给定的圆周上有100个点，任取一个点标上1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，标上2；从标有2的点再往后数3个点，标上3……依次类推，直至在圆周上标出100.对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数。请问：标有100的那个点上标出的数最小是多少？4.三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理的游戏。小强与小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安。小安告诉小强和小花，他将分别把这两个数的和与乘积写在不同的纸上，小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着2008），小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数。请问：小花所选的数是什么？5.已知三个互不相等的正整数成等差数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？6.是否存在一个完全平方数，它的每一位上的数字全都相同（至少是两位数）？如果存在，请写出一个；如果补存在，请说明理由。7.有一根均匀木棍，先用红色刻度线将它分成m等份，再用蓝色刻度线将它分成n等份，mn，然后按所有刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不一的小棍，其中最长的小棍恰有100根，求m和n。8.是否存在这样的自然数：在这个数后面重写一遍这个数，新组成的数是一个完全平方数？如果存在，请举例；如果不存在，请说明理由。