第02章-静电场(3)

2-7电容由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量q与极板间的电位差U的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容，即电容为UqC电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只有0.708×10-3F。实际中，通常取F（微法）及pF（皮法）作为电容单位。F10pF1F,10μF1126一、平板电容器电容是导体系统的一种基本属性，它是描述导体系统储存电荷能力的物理量。4Ca电容器的电容表达了两极板上等量异号电荷±q与两极板间电压U的关系。对于均匀介质ε中的半径为a的孤立导体球可求得其电容为：二、多导体之间的电容计算在三个或三个以上的多导体系统中，每两个导体的电压要受到其余导体上电荷的影响。此时系统中的导体电荷与导体间电压的关系一般不能仅用一个电容来表示。此时任意两导体间均有一电容，即部分电容，这许多部分电容形成电容网络。q1q3qnq2多导体系统示意图假定线性介质空间中有n个导体，各导体的电荷量分别为q1，q2，...，qn，相应的电位分别为。若各个导体的总电荷量之和为零，12,,...,n此时系统中的电场分布只与系统内各带电导体的形状、尺寸、相互位置和介质分布有关，而与系统外的带电体无关，且所有电位移通量全部从系统内的带电体发出又全部终止于系统内的带电体上，即所谓静电独立（或封闭）系统。则各导体的电位与各导体上电荷的关系也是线性的，即nnnjnnjnnnnnniinjiijiiiiinnkjnnhjCCCCqCCCCqCCCCqCCCCq)()()()()()()()()()()()(2211141222222212212111121121111此方程组也可用各个导体上的电荷与导体间的电位差的关系表示为：式中Cii称为第i个导体的固有部分电容；Cij称为第i个导体与第j个导体之间的互有部分电容。11111221221122221122nnnnnnnnnnPqPqPqPqPqPqPqPqPq例已知同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充介质的介电常数为。试求单位长度内外导体之间的电容。解由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。ab设内导体单位长度内的电量为q，围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面S，则dSqES那么内外导体之间的电位差U为baabqrEUln2d因此同轴线单位长度内的电容为abUqCln22πrqEer2-8电场能量静电场最基本的性质是对静止电荷有作用力，这表明静电场有能量。电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。如给导体充电时，外电源要对电荷做功，提高电荷的电位能，这就构成了电荷系统的能量。根据电场力作功或外力作功与静电场能量之间的转换关系，可以计算静电场能量。首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为Q的孤立带电体的能量。一、孤立带电体的能量设带电体的电量Q是从零开始逐渐由无限远处移入的。由于开始时并无电场，移入第一个微量dq时外力无须作功。当第二个dq移入时，外力必须克服电场力作功。若获得的电位为，则外力必须作的功为dq，因此，电场能量的增量为dq。已知带电体的电位随着电荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量q的函数。那么当电量增至最终值Q时，外力作的总功，也就是电量为Q的带电体具有的能量为qqWQed)(0已知孤立导体的电位等于携带的电量q与电容C的之比，即Cq代入上式，求得电量为Q的孤立带电体具有的能量为CQW2e21CQQW,21e或者表示为二、多个带电体具有的总能量对于n个带电体具有的总能量，也可采用同样的方法进行计算。设每个带电体的电量均从零开始，且以同样的比例增长。若周围媒质是线性的，则当各个带电体的电量增加一倍时，各个带电体的电位也升高一倍。设第i个带电体的电位最终值为i，电量的最终值为Qi，若某一时刻第i个带电体的电量为qi=Qi，1，则此时该带电体的电位为i=i。那么当各个带电体的电量均以同一比例增长，外力必须作的功，也就是带电系统的电场储能增量为11dddnneiiiiiiWqQ当各个带电体的电量同时分别增至最终值时，该系统的总电场能为nQQQ,,,21101eeddniiiQWWniiiQW1e21求得当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，由，求得这种分布电荷的带电体总能量为lSVqlsddddlSVWllSSVd21d21d21e式中为体元dV、面元dS、或线元dl所在处的电位，积分区域为电荷分布的空间。从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间，应该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以小写英文字母we表示。三、电荷为连续的体分布、面分布或线分布时带电体总能量四、静电场的能量分布密度设两个导体携带的电量为Q1和Q2，其表面积分别为S1和S2，如图所示。SS2Q2Q1S1Venennene已知电荷分布在导体的表面上，因此，该系统的总能量为21d21d21eSSSSSSW又知，snnDeDe求得12e11dd22SSWDSDS若在无限远处再作一个无限大的球面S，由于电荷分布在有限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分d0SDS那么，上面的储能公式可写为12e111ddd222SSSWDSDSDS1d2SDS式中。该闭合面S包围了静电场所占据的整个空间。那么，利用高斯定理，上式可写SSSS21e11()d()d22VVWDVDDV考虑到区域V中没有自由电荷，所以，又，代入上式，求得0DEe1d2VWDEV由此可见，静电场的能量密度e12wDE对于各向同性的线性介质，，代入后得DE2e21Ew此式表明，静电场能量与电场强度平方成正比。因此，能量不符合叠加原理。虽然几个带电体在空间产生的电场强度等于各个带电体分别产生的电场强度的矢量和，但是，其总能量并不等于各个带电体单独存在时具有的各个能量之和。事实上，这是因为当第二个带电体引入系统中时，外力必须反抗第一个带电体对第二个带电体产生的电场力而作功，此功也转变为电场能量，这份能量通常称为互有能，而带电体单独存在时具有的能量称为固有能。例计算半径为a，电量为Q的导体球具有的能量。导体周围介质的介电常数为。解可以通过三种途径获得相同结果。（1）已知半径为a，电量为Q的导体球的电位为aQπ4aQQWπ8212e那么求得（2）已知导体表面是一个等位面，那么积分求得SaQWSSdπ421eaQπ82（3）已知电量为Q的导体球外的电场强度为，能量密度为，那么沿球外整个空间积分求得2π4rQE422eπ32rQwaQrrwWaπ8dsindd22eπ0π20e本章习题：2-7、2-9、2-17、2-19、2-202-9电场力在静电场中，各个带电体都要受到电场力的作用。已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力是非常困难的，有时甚至无法求积。为了计算具有一定电荷分布的带电体之间的电场力，通常采用虚位移法。所谓广义坐标，是指确定系统中各带电导体的形状、尺寸和位置的一组独立几何量；而企图改变某一广义坐标的力，就称为对应于该坐标的广义力。广义力乘上由它引起的广义坐标的增量，就是所做功。这种方法是假定带电体在电场作用下发生一定的位移，根据位移过程中电场能量的变化与外力及电场力所作的功之间的关系计算电场力。以平板电容器为例，设两极板上的电量分别为+q及-q，板间距离为l。为了计算方便，假定在电场力作用下，极板之间的距离增量为dl。众所周知，两极板间的相互作用力实际上导致板间距离减小。因此，求出的作用力应为负值。dll-q+q既然认为作用力F导致位移增加，因此，作用力F的方向为位移的增加方向。这样，为了产生dl位移增量，电场力作的功应为F·dl=Fdl。根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即eddWlF常数qlWFdde由此求得式中脚注q=常数，说明当极板发生位移时，极板上的电量没有发生变化，这样的带电系统称为常电荷系统。式中S为极板的面积，l为两极板的间距。将这些结果代入上式，求得平板电容器两极板之间的作用力为已知平板电容器的电容lSC)N(22SqF式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。如果假定发生位移时，电容器始终与电源相连，这样，在虚位移过程中，两极板的电位保持不变，这种系统称为常电位系统。根据这种常电位的假定，也可以计算平板电容器两极板之间的作用力，所得结果应该与上完全相同。已知平板电容器的能量为。对于常电荷系统，发生位移时电量q未变，只有电容C改变了。CqW2e21设在电场力作用下，极板间距的增量为dl。由于电容改变，为了保持电位不变，正极板的电荷增量为dq，负极板的电荷增量为-dq。设正负极板的电位分别为1及2，则电场能量的增量为qVqqWd21d21d21d21e式中为两极板之间的电压。21V为了将dq电荷移至电位为1的正极板，将电荷-dq移至电位为2的负极板，外源必须作的功为e21d2d)d(dWqVqq根据能量守恒原理，外源作功的一部分供给电场力作功，另一部分转变为电场能的增量，因此eeddd2WlFW常数lWFdde求得例利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。解利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面张力为F。在此表面张力F的作用下，使极板面积扩大了dS，则电场力作的功为FdS。根据能量守恒原理，这部分功应等于电场能量的减小值，即eddWSF常数qSWFdde已知平板电容器的能量为，代入上式，得lSCCqW,212e)N/m(222SlqF若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表面张力F应为那么将代入，即可获得同样结果。lSCCVW,212e如果将及两式中的变量l理解为一种广义坐标，也就是说，l可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力。常数SWFdde常数qSWFdde常数lWFdde显然，对于不同的广义坐标，其广义力的含义不同。对于位移而言，广义力就是普通概念的力，单位为N；对于面积，广义力为表面张力，单位为N/m；对于体积，广义力为膨胀力或压力，单位为N/m2；对于角度，广义力为转矩，单位为N•m。若规定广义力的方向仍然为广义坐标增加的方向，那么，广义力与广义坐标的乘积仍然等于功。这样，前两式可分别改写为常数qlWFe常数lWFe两式中的微分符号变为偏微分是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有关。l代表对应于广义力的广义坐标。由上两式可见，带电系统的能量与多少种广义坐标有关，就存在多少种广义力。当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若带电系统的能量没有发生变化，也就不存在使该广义坐标发生变化的广义力。例计算带电肥皂泡的膨胀力。解设肥皂泡的电量为q，半径为a。利用常电荷系统公式，令式中广义坐标l代表体积V，则受到的膨胀力F为常数qeVWF已知半径为a，电量为q的带电球的电位为aq0π4因此，携带的能量为aqqWe02π821又知球的体积为3π34aVaaVdπ