哈工大第二学期数学分析知识点总结

关于实数完备性的6个基本定理1.确界原理（定理1.1）；2.单调有界定理（定理2.9）；3.区间套定理（定理7.1）；4.有限覆盖定理（定理7.3）5.聚点定理（定理7.2）6.柯西收敛准则（定理2.10）；在实数系中这六个命题是相互等价的。第七章在有理数系中这六个命题不成立。1.确界原理在实数系中，任意非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。},,2|{2QxxxS：反例,2inf,2supSS成立。确界原理在有理数域不在有理数集没有确界。即S2.单调有界定理；在实数系中，单调有界数列必有极限。是单调有界有理数列，反例：})11{(nn.e但其极限是无理数即数列的单调有界定理在有理数域不成立。3.区间套定理若{[]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点bann,,2,1],,[,nbann使,2,}{nnaa使取单调递增有理数列,2,}{nnbb使取单调递减有理数列，套有理数域内构成闭区间则Qnnba],[.Q2共点为其在实数系内唯一的公所以区间套定理在有理数系不成立。反例：4.有限覆盖定理在实数系中，闭区间[a,b]的任一开覆盖H，必可从H中选出有限个开区间覆盖[a,b]。中所有有理数的集合，，表示设]21[]2,1[Q),,2,,]2,1[xxxQrxrxrx（使有理数},]2,1[|),{(QxxxrxrxH令的一个开覆盖，是则QH]2,1[)},(),(),,{(,22221111**nnnnrxrxrxrxrxrxHHH合的有限个元素，构成集任取,2222*rnnH最靠近的数为个有理数中与设这个端点都是有理数，，且中的开区间都不含由于反例：个区间之外。述之间所有有理数都在上与则在nr2.]2,1[QH住的任意有限覆盖不能盖即5.聚点定理实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。反例：},|)11{(ZnnSnS是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,因而在有理数域没有聚点。5.1致密性定理：在实数系中，有界数列必含有收敛子列。反例：,})11{(}{穷数列是有理数系中的有界无nnnx其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。故{xn}在有理数域内没有收敛的子列。6.柯西收敛准则.,,,,0}{mnnaaNnmNa有收敛在实数系中，反例：条件的有理数列，是满足Cauchynn})11{(.e但其极限是无理数即柯西收敛准则在有理数域不成立。几个概念：区间套（闭区间套），聚点（3个等价定义及其等价性的证明），开覆盖（有限开覆盖）。举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立。,0)01(lim}10{nnn且是前一个包含后一个，），（如但不存在属于所有开区间的公共点。举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。,2,1)}1,11{(nn，如开区间集合但不能从中选出有限个开区间盖住（0，1）。因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，,11N设为。）这部分将不能被盖住，则（110N构成了开区间（0，1）的一个开覆盖，积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分第八章不定积分一、主要内容1、原函数与不定积分的概念。2、不定积分:(1)存在性;(2)唯一性;(3)如何求？3、不定积分运算与微分运算的互逆关系。4、积分表。5、不定积分的计算：（1）基本思想——化归为积分表中的积分；（2）常用积分方法：1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、三角恒等变形）；2）线性运算；3）换元法：第一类（凑分法）——不需要变换式可逆；第二类——变换式必须可逆；4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积的积分；“对反幂三指，前者设为u”5）三种特殊类型函数“程序化”的积分法。注：检验积分结果正确与否的基本方法。（3）求积分比求微分困难——1）没有万能的积分法；2）有的初等函数的积分不是初等函数，从而“积不出来”，如，和lnxdxdxxex积分对数，、cossindxxxdxxx积分余弦积分正弦，、、、及更一般的形式cossinlndxxxdxxxdxxxdxxennnnx、、、还有)(c)sin(222dxxosdxxdxex14dxx另外：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.6、基本积分表kCkxkdx()1(是常数))1(1)2(1CxdxxCxxdxln)3(dxx211)4(Cxarctandxx211)5(Cxarcsinxdxcos)6(Cxsinxdxsin)7(Cxcosxdxxtansec)10(Cxsecxdxxcotcsc)11(Cxcscdxex)12(Cexxdx2cos)8(xdx2secCxtanxdx2sin)9(xdx2cscCxcotdxax)13(CaaxlnCxxdxcoslntan)16(Cxxdxsinlncot)17(Cxxxdx)tanln(secsec)18(Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxaarctan11)20(22Cxaxaadxxaln211)22(22Caxdxxaarcsin1)23(22Caxxdxax)ln(1)24(2222Caxaxadxaxln211)21(22;)(.11dxxxfnn;)(.2dxxxf;)(ln.3dxxxf;)1(.42dxxxf;cos)(sin.5xdxxf;)(.6dxaafxx7、凑微分常见类型:;sec)(tan.72xdxxf;1)(arctan.82dxxxf凑微分时常用到：;22dxxdx;1,11-nndxdxxnn;xxdedxe;21xddxx);ln(1cxddxcx;sincosxdxdx;arctan112xddxx;tansec2xdxdx.0),(1abaxdadx凑微分法就是设法把,)())(()(xdxgdxxf凑成一般没有规律可循，只有掌握典型例题，多做多总结。三角代换去掉如下二次根式：22)1(xa可令,sintax22)2(xa可令,tantax22)3(ax可令,sectaxtax22xatax22axtax22ax8、常用代换:当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令x=tn,（其中n为各根指数的最小公倍数）lkxx,,当分母的阶分子的阶时,可考虑试用倒代换：.1tx一、主要内容1、定积分的定义的取法均无关。及该极限与}{iTiiiiTbaxxfdxxf)()(lim)(10||||第九章定积分定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；与积分变量记号的选择无关。badxxf)(badttf)(baduuf)(求出及特殊的点集取特殊的分割},{)1(iTiiiTbaxfdxxf)(lim)(0||||取左端点或右端点。等分，通常对inba],[（2）利用牛顿-莱布尼兹公式。babaxFaFbFdxxf|)()()()(2、定积分的计算在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：3、定积分的几何意义——面积的代数和。4、定积分的性质线性、关于积分区间的可加性、估值不等式、积分第一、第二中值定理。5、定积分与不定积分的联系（1）变上限积分的导数公式；保号性、),()(xfdttfdxdxa)()()()(xaxafxbxbf)()()(xbxadttfdxd（2）牛-莱公式。（3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数，而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。所以可积函数不一定有原函数。0,0]1,1[0,1sin)(22xxxxxxf且0,0]1,1[0,1cos21sin2)(22xxxxxxxxf且无界，从而不可积，，在]11[)(xf),(]11[)(xfxf的原函数是，在但即说明有原函数的函数不一定可积。6、可积条件必要条件若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界。充要条件（1）函数f在[a,b]可积当且仅当：，使分割T,0.Tiix,,0T分割、使得属于T的所有小区间中，充要条件（2）函数f在[a,b]可积当且仅当：对应于振幅的那些小区间的总长.kkxkk7、可积函数类1、在[a,b]上连续的函数在[a,b]可积。2、在[a,b]上只有有限个间断点的有界函数在[a,b]上可积。3、在[a,b]上单调的有界函数在[a,b]上可积。（允许有无限多个间断点）但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数不属于这3类的任何一类，但它是可积的。在[a,b]上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在[a,b]可积。8、利用不定积分计算定积分（1）线性；恒等变形；换元；分部积分；一些特殊类型函数的积分。（2）与不定积分法的差别（3）利用对称性、周期性及几何意义。——牛-莱公式积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。（4）开偶次方时，要带绝对值。9、杂记（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。（2）对D(x)和R(x)的可积问题多一些关注。1、微元法的理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,],[)(定积分的微分的分就是这表明连续函数的定积于是即的一个原函数是则它的变上限积分上连续在设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa第10章2、名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法计算积分或原函数的这种取微元积分的无限积累到从就是其微分所求总量知由理论依据dxxfdxxfUbadxxfdUAba（1）U是与一个变量x的变化区间ba,有关的量；（2）U对于区间ba,具有可加性，就是说，如果把区间ba,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；（3）部分量iU的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量U.3、所求量的特点；）的变化区间的相关量（记为确定）],[1baxU2表达式微元的建立）U设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，，即dxxfxdUdU)()(],[C)(baxf其中，即)()(xoxxfU）。（此时，以静代动以简代繁、以直代曲、。则badxxfU)(4、解题步骤是非常困难的。通常要验证)()(xoxxfU一般来说不是唯一的。中的且)()()(xfxoxxfU也不是唯一的。中的所以)()(xfdxxfUba平面图形的面积直角坐标参数方程极坐标弧微分弧长旋转体体积旋转体侧面积?5、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积xyo)(xfybadxxfA|)(|xyo)(1xfy)(2xfybadxxfxfA)]()([12AA直角坐标情形abab——上曲线减下曲线对x积分。yxOcdAx=f(y)（图5）x=g(y)dcdyygyfA)]()([——右曲线减左曲线对y积分。一般解题步骤：（1）画草图，定结构；（2）解必要的交点，定积分限；（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。注意：答案永远为正。如果曲边梯形的曲边为参数方程)()(tytx曲边梯形的面积21)()(ttdtttA（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在[