10-迭代与分叉、混沌-作业2

开放性实验（十）一、实验题目：迭代与分叉、混沌作业2逻辑斯谛方程可写为标准形式1(1)nnnxrxx对于不同的r,观察数列的收敛情况。（1）00.6,0.3rx，相应的MATLAB代码为clear;x=0.3;r=0.6;fori=1:30x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x;endplot(x1,y,'k-o')计算结果见下图，由图中可知，迭代收敛于0，0迭代式的不动点。为了画出迭代的蛛网图，相应的MATLAB代码为clear;x=0.3;r=0.6;fori=1:30x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x;endx1(1)=0.3;y1(12)=0;fori=1:29x1(2*i+1)=y(i);x1(2*i)=x1(2*i-1);yi(2*i)=y(i);y1(2*i+1)=y1(2*i);end;x2=0:0.01:1;y3=r.*x2*(1-x2);plot(x1,y1,'k-',x2,y2,'k-',x2,y3,'k-')（2）02.8,0.3rx，相应的MATLAB代码为clear;x=0.3;r=2.8;fori=1:30x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x;endplot(x1,y,'k-o')计算结果见下图，由图中可知，迭代数列上下震荡，收敛于不动点10.643rr。为了画出迭代的蛛网图，只需在第一种情况00.6,0.3rx相应的MATLAB代码中将r=0.6给为r=2.8即可。（3）03.2,0.3rx，相应的MATLAB代码为clear;x=0.3;r=3.2;fori=1:40x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x;endplot(x1,y,'k-o')计算结果见下图，由图中可知，经过一段时间调整，迭代数列开始在两个近似为0.51和0.80的值之间震荡。这类震荡称为2-循环。一旦进入这种模式，就容易预测解nx的未来值。相应的蛛网图为（MATLAB代码略去）。（4）03.46,0.3rx，相应的MATLAB代码为clear;x=0.3;r=3.46;fori=1:40x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x;endplot(x1,y,'k-o')计算结果见下图，由图中可知，经过一段时间调整，迭代数列开始在四个值之间震荡。这类震荡称为4-循环。注意，当参数r的值变化时，从收敛到唯一不动点（1-循环）到4-循环，再从2-循环到4-循环，这样的分裂行为称为分叉（bifurcation）。（5）03.55,0.3rx，相应的MATLAB代码为clear;x=0.3;r=3.55;fori=1:100x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x;endplot(x1,y,'k-o')计算结果见下图，由图中可知，经过一段时间调整，迭代数列开始在八个值之间震荡。这类震荡称为8-循环。（6）03.80,0.3rx，相应的MATLAB代码为clear;x=0.3;r=3.80;fori=1:100x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x;endplot(x1,y,'k-o')计算结果见下图，由图中可知，迭代数列不再呈现稳定的周期性，也不具有任何可预测的模式。迭代数列在区间（0,1）内跳来跳去，而且表现出对初始条件非常敏感的依赖性，称这种状态为混沌（chaos）。为了观察r对迭代格式1(1)nnnxrxx的影响，将区间（0,4]以步长r离散化。对每个离散的r值进行迭代，忽略前50个迭代值，把点5152100(,),(,),,(,)rxrxrx显示在坐标平面上。这样形成的图称为Feigenbaum图，它反映了分叉与混沌的基本特性，参考的MATLAB代码为clear;forj=1:400;x=0.3;r=j/100;fori=1:100x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x:endfork=1:50xx(k)=r;yy(k)=y(50+k);endholdon;plot(xx,yy,'ko')end从Feigenbaum图可以看出，当(0,1)r时，0是稳定的不动点；当(1,3)r时，0是排斥点，41rrr是稳定的不动点；当(3,3.4494897)r时，迭代变为2-周期轨道，13r是第一分叉点；当7(3.544090,3.564407)r时，迭代变为4-周期轨道，23.4494897r是第二分叉点；当(0,1)r时，迭代变为8-周期轨道，33.544090r是第三分叉点；下面迭代将依次分叉为16-周期，32-周期，64-周期，……，这种分叉形式称为倍周期分叉，相应的分叉点4563.564407,3.568759,3.569692,rrr783.569891,3.569934,rr很显然，上面所列参数r的临界值有收敛趋势。事实上也的确如此，它们最后收敛到r。收敛序列可表示为,1nncrrn式中称为Feigenbaum常数，4.6692016091,2.6327,3.5699456cr当(,4)rr时，迭代进入混沌区域。