微分中值定理及其应用

数学分析1°使学生深刻理解微分中值定理及其分析意义与几何意义。掌握它的证明方法，了解它在微分中值定理中的地位。2°通过知识学习，使学生初步具有应用中值定理进行分析论证的能力，能用以证明某些有关的命题，特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的办法。3°使学生学会应用值定理研究函数在某区间上的某些整体性质，如单调性，有界性等4°使学生掌握中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础。第六章微分中值定理及其应用教学目标：12xyo)(xfyC一罗尔定理与拉格朗日定理数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。一．极值概念：1．回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:定理(Fermat)设函数f在点0x的某邻域内有定义，且在点0x可导，若点0x为f的极值点，则必有0)(0xf1、罗尔中值定理：若函数f满足如下条件：（i）在闭区间[a，b]上连续；（ii）在开区间（a，b）内可导；§1拉格朗日中值定理（iii）)()(bfaf，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=0（分析）由条件（i）知f在[a，b]上有最大值和最小值，再由条件（ii）及（iii），应用费马定理便可得到结论。证明：因为f在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M=m,则f在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。(ii)若m＜M，则因f(a)=f(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f的极值点，由条件(ii)f在点ξ处可导，故由费马定理推知-2-1.5-1-0.500.511.5-1-0.500.51度相等，则至少存在一条水平切线。注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的。例如：2x1,11x2,01|x|,xF(x)x易见，F在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F（2）,即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点ξ,满足0)(F但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见下图：缺条件1ababab缺条件3缺条件2-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2-1-0.500.511.52x10注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：0x0,0x,sinxf(x)x142x=-0.2:0.005:0.2;y=(x.^4).*((sin(1./x)).^2);plot(x,y,'r')axis([-0.2,0.2,-0.001,0.002])在[-1，1]上满足罗尔定理的条件，显然0x0,cossin2xsin4x(x)fx1x1x1232在（-1，1）内存在无限多个nc=)(21znn使得)(ncf=0。b12xxoy)(xfyAB2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数ƒ满足如下条件：（i）ƒ在闭区间[ba,]上连续；（ii）ƒ在开区间(ba,)内可导；则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得abafbff)()()(（分析）罗尔定理是拉格朗日中值定理：ƒ（a）=ƒ(b)时的特殊情况，应用罗尔定理证明此定理要构造辅助函数)(xF，使得)(xF满足罗尔定理的条件（i）-(iii)且abafbfxfxF)()()()(，b][a,xa),(xabf(a)f(b)f(a)f(x)F(x)证明：作辅助函数a)(xabf(a)f(b)f(a)f(x)F(x)显然，F（a）=F(b)（=0），且F在[a，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点ξ(a，b)，使得0)()()()(abafbffF即abafbff)()()(注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理)()(bfaf时的特例注2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线)(xfy上至少存在一点))(,(fP，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，我们在证明中引入的辅助函数)(xF，正是曲线)(xfy与直线AB)()()()(axabafbfafy之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新х轴（F（a）=F（b））。注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：),(),)(()()(baabfafbf)1,0(),)](([)()(ababafafbf)1,0(,)()()(hhafafhaf注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：f在（a,b）可导可以推出f在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数)(xf在（a，b）可导且)(xf在a右连续在b左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。中值定理的简单应用:(讲1时)3、拉格朗日中值定理的几个重要推论推论1函数)(xf在区间I上可导且)(,0)(xfxf为I上的常值函数.证明：任取两点Ixx21,（设21xx），在区间[21,xx]上应用拉格朗日中值定理，存在ξ（21,xx）I，使得0))(()()(1212xxfxfxf推论2函数)(xf和)(xg在区间I上可导且,)()(),()(cxgxfxgxf.Ix推论3（导数极限定理）设函数f在点0x的某邻域U（0x）内连续，在U°（0x）内可导，且极限)(lim0xfxx存在，则f在点0x可导，且)(lim)(00xfxfxx证明：分别按左右导数来证明上式成立（1）任取)(00xux，)(xf在[xxo,]上满足拉格朗日中值定理条件，则存在ξ),(xxo，使得)()()(00fxxxfxf由于0x＜ξ＜x，因此当0xx时随之有ξ→0x，对上式两边取极限，使得)0()(lim)()(lim)(000000xffxxxfxfxfxxxx（2）同理可得)0()(00xfxf因为0limxx)(xf=k存在，所以)0(0xf=)0(0xf=k，从而kxfxf)()(00即kxf)(0注1°由推论3可知：在区间I上的导函数)(xf在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。注2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。推论4(导函数的介值性)若函数f在闭区间],[ba上可导,且,0)()(bfaf.0)(),,(fba(证)一．单调性函数1．单调性判法：定理6.3设函数)(xf在区间),(ba内可导.则在),(ba内)(xf↗(或↘)在),(ba内0)(xf(或0).证明：必要性0)(0)()(000xfxxxfxf充分性fxxfxfxf0))(()()(1212在I上递增。例设xxxf3)(讨论它的单调区间。解)13)(13(13)(2xxxxfx=-1:0.01:1;y=x.^3-x;g=3*x.^2-1;plot(x,y,'r',x,g,'b')axis([-1,1,-1,0.6]))(,0)(,)31,(xfxfx,)(,0)(,)31,31[xfxfx)(,0)(,),31[xfxfx-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6)(xf)(xf例2求函数31292)(23xxxxf的单调区间。f='2*x^3-9*x^2+12*x-3';dfdx=diff(f,'x')dfdx=6*x^2-18*x+12s='6*x^2-18*x+12'，x0=solve(s)s=6*x^2-18*x+12x0=1,2120f0f0f-1012345-40-20020406080100)(xfclf,x=-1:1/20:5;y=2*x.^3-9*x.^2+12*x-3;plot(x,y)定理6.4设函数)(xf在区间),(ba内可导.则在),(ba内)(xf严格↗(或严格↘)ⅰ）对),,(bax有0)(xf(或)0;ⅱ）在),(ba内任子区间上.0)(xf例证明不等式xex1证明：设1)(1)(xxexfxexf0x时0)(xf