卡尔曼滤波器原理详解

卡尔曼滤波器原理林斌P2011090261234内容提纲发展概述算法前提算法推导算法总结卡尔曼滤波5算法扩展Rudolf(Rudy)EmilKálmán（1930～）卡尔曼滤波工程背景：1960s航空航天工程突飞猛进电子计算机又方兴未艾正式提出：《一种关于线性过滤和预测难题的新方法》1960Anewapproachtolinearfilteringandpredictionproblems，19601发展概述卡尔曼滤波1发展概述优势：1、采用物理意义较为直观的时域状态空间2、仅需要前后两步的数据，数据存储量较小3、使用比较简单的递推算法，便于在计算机上实现4、不仅适用于平稳过程，还可以推广到非平稳随机过程的情况发展：卡尔曼滤波器已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。卡尔曼滤波2算法前提随机离散系统模型定义随机离散时间过程的状态向量，该过程由以下离散随机差分方程描述：111kkkkwBuAxxkkkvHxzmkRznkRx1.2假设系统满足可观性要求，定义观测向量，得到观测方程：2.2随机信号和分别表示过程激励噪声和观测噪声，并假设它们是相互独立并满足正态分布的白噪声。kvkwnx1nxnnxnnx1nx1mx1mxnmx1卡尔曼滤波2算法前提即有：过程激励噪声观测噪声实际过程中过程激励噪声协方差矩阵Q和观测噪声协方差矩阵R可能随着每次迭代计算而变化，但在这里我们假设它们为常数。另外，状态转移矩阵A，输入矩阵B和测量方程2.2中的矩阵H，在实际过程中都可能随时间变化而变化，但在这儿假设为常数。3.24.2),0(~RNvk),0(~QNwk卡尔曼滤波2算法前提先验估计和后验估计，及其误差定义为根据上一次迭代计算结果而产生的估计值，称为先验估计。定义为根据当前计算结果而产生的估计值，称为后验估计。定义先验估计误差为定义后验估计误差为nkRxˆnkRxˆkkkxxeˆnx1真值5.2kkkxxeˆnx1真值6.2卡尔曼滤波2算法前提定义先验估计误差的协方差为定义后验估计误差的协方差为)cov(},{kkkkeeeEPT)cov(},{EkkkkeeePT7.28.2卡尔曼滤波目的描述：在系统结构已知的情况下，给定k时刻的状态观测向量，求k时刻的系统状态向量的最优估计，使得最小。基本思路：1、根据计算出k时刻的先验估计同时也产生了先验估计的协方差矩阵的递推公式3算法推导kzkxˆkP1ˆkxkxˆ11ˆˆkkkBuxAx1.3kPˆQAPAPTkk1ˆˆ2.3卡尔曼滤波2、根据先验估计计算出k时刻的观测向量的估计3、计算实测值与估计的差，以此来修正之前的先验估计，得到后验估计把带入：3算法推导)ˆ(ˆˆkkkkkxHzKxx3.3kxˆkkxHzˆˆkzkzˆkxˆkxˆ权重残差这里的权重系数也成为卡尔曼增益。至此卡尔曼滤波计算原型公式基本结束，下面要确定出最优系数K和在最优系数下的后验估计误差的协方差矩阵的递推方法)ˆ(ˆˆkkkkkzzKxxkzˆ卡尔曼滤波推导后验协方差矩阵按照定义，我们从误差协方差开始推导如下：带入再带入3算法推导kPˆ)ˆcov(ˆkkkxxPkPˆ)))ˆ(ˆ(cov(ˆkkkkkkxHzKxxP)ˆ(ˆˆkkkkkxHzKxxkkkvHxz)))ˆ(ˆ(cov(ˆkkkkkkkxHvHxKxxP卡尔曼滤波整理测量误差向量，得：因为噪声项与其他项不相关，协方差=0，所以有：利用协方差矩阵性质，提出常数矩阵，得：3算法推导))ˆ)(cov((ˆkkkkkkvKxxHKIP)cov())ˆ)(cov((ˆkkkkkkvKxxHKIPTkkkTkkkkkKvKHKIxxHKIP)cov())(ˆcov()(ˆ卡尔曼滤波如果记，则有：3算法推导kkkPxxˆ)ˆcov(TkkTkkkkRKKHKIPHKIP)(ˆ)(ˆ4.3卡尔曼滤波推导最优卡尔曼增益最优化K：使后验估计的协方差达到最小。（换一个概念）也是使向量的二范数的数学期望值最小化的一个过程。这等同于后验估计的协方差矩阵的迹最小化3算法推导kKkxˆkPkkxxˆ}|ˆ{|2kkxxEkkkPtrxxPˆ}|ˆ{|2卡尔曼滤波首先展开3.4式，得：记：上面的式子可以写为：3算法推导TkTkkTkTkkkkkKRHPHKKHPPHKPP)ˆ(ˆˆˆˆRHPHSTkkˆTkkkTkTkkkkkKSKKHPPHKPPˆˆˆˆ5.3卡尔曼滤波把对求导，并令导数=0，则可以得到取最小值时的最优化的值。解得：3算法推导)ˆ(kPtrTTCBdABACdtr)(引入常用数学公式？？kK)ˆ(kPtrkK02ˆ2)()(ˆ)ˆ()ˆ(kkTkkkTTkkTkTkkkSKHPSKKSHPPHdKPdtr11)ˆ(ˆˆRHPHHPSHPKTkTkkTkk6.3卡尔曼滤波化简后验误差协方差公式在卡尔曼增益等于上面导出的最优值时，计算后验协方差的公式可以进行简化。对于卡尔曼增益公式在卡尔曼增益公式两侧同时右乘得：把上式带入3.5式，可以消去后面的两项，得：3算法推导1ˆkTkkSHPKTkkKSTkTkTkkkKHPKSKˆkkkkPHKPPˆˆˆ3算法推导整理，得：这个公式的计算比较简单，所以实际中总是使用这个公式，但是需注意这公式仅在使用最优卡尔曼增益的时候它才成立。如果算术精度总是很低而导致数值稳定性出现问题，或者特意使用非最优卡尔曼增益，那么就不能使用这个简化；必须使用3.5式表示的后验误差协方差公式。kkkPHKIPˆ)(ˆ7.3卡尔曼滤波卡尔曼增益的物理意义其中：H矩阵为常量；与过程激励噪声的协方差矩阵Q有关；R为测量噪声的协方差矩阵。取值范围：当R趋向于零时，有：当趋向于零时，有：3算法推导0lim0ˆkPKkkPˆRHPHHPKTkTkkˆˆkPˆ10limHKkR],0[1HKk卡尔曼滤波意义：决定了最优估计组成比例的“调节器”当R趋向于零时，有：测量噪声V=0此时3.3式改为系统表现为完全取测量值作为状态的后验估计值，而系统的先验状态估计完全被抛弃。反之当趋向于零时，根据式3.2可知，Q=0易知，此时系统完全抛弃测量值，取先验估计值3算法推导kPˆ10limHKkRmx1kkkkkzHxHzHxx11)ˆ(ˆˆnx1卡尔曼滤波算法描述卡尔曼滤波器用反馈控制的方法估计过程状态。估计过程某一时刻的状态，然后以（含噪声）测量值得方式获得反馈，因此卡尔曼滤波器可以分为两个部分：1、时间更新方程负责向前推算当前状态向量和误差协方差估计的值，为下一个时间状态构成先验估计。2、测量更新方程负责将先验估计和新的测量变量结合已构成改进后的后验估计。4算法总结卡尔曼滤波时间更新方程测量更新方程4算法总结11ˆˆkkkBuxAx1.42.41)ˆ(ˆRHPHHPKTkTkk3.44.4)ˆ(ˆˆkkkkxHzKxxQAPAPTkk1ˆˆ5.4kkkPHKIPˆ)(ˆ卡尔曼滤波4算法总结BAHKkxˆkxˆkz1ˆkx1kukzˆ时间更新（预测）测量更新（校正）算法框图1、状态估计向量的运算流程图卡尔曼滤波4算法总结算法框图2、误差协方差的运算流程图A·ATI-KkHkPˆQ1ˆkP时间更新（预测）测量更新（修正）kPˆ卡尔曼滤波滤波器参数调整在卡尔曼滤波器实际实现时，测量噪声R一般可以观测得到，是滤波器的已知条件。观测测量噪声协方差R可以通过离线试验获取。而过程激励噪声协方差Q值比较难以确定，因为我们无法直接观测到过程状态。有时候可以通过Q的手动选择，人为的为过程“注入”一个足够的不确定因素，来产生一个可以接受的结果。也可以使用一个离线模拟滤波器与在线滤波器进行实时对比的方式来实时优化滤波器的参数（Q和R）。5算法扩展kx