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第六节幂函数与二次函数考纲概述考查热点考查频次备考指导(1)了解幂函数的概念;(2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象,了解它们的变化情况;(3)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.幂函数的概念与图象★★★二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者的综合考查较多,注重考查图象与性质的灵活运用,而幂函数只需掌握幂指数为1,2,3,-1,12时的情形,多以选择与填空题等小题出现,以中等难度为主,以数形结合为主.二次函数的解析式★★二次函数的图象与性质★★★1.幂函数(1)幂函数的定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)5种常见幂函数的图象(如图)(3)5种常见幂函数的性质函数性质y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(-∞,0]减;(0,+∞)增增增(-∞,0)减;(0,+∞)减定点(0,0),(1,1)(1,1)2.二次函数(1)二次函数的定义:形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种常见的解析式①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),(m,n)为顶点坐标;③两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2分别为f(x)=0的两实根.(3)二次函数的图象与性质二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R,对称轴为x=-𝑏2𝑎,顶点为-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎,图象关于直线x=-𝑏2𝑎成轴对称图形.当a0时,图象开口向上,值域为4𝑎𝑐-𝑏24𝑎,+∞,在区间-∞,-𝑏2𝑎上单调递减,在区间-𝑏2𝑎,+∞上单调递增;当a0时,图象开口向下,值域为-∞,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎,在区间-∞,-𝑏2𝑎上单调递增,在区间-𝑏2𝑎,+∞上单调递减.3.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系(1)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根.(2)若x1,x2为方程f(x)=0的实根,则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1-x2|=𝑏2-4𝑎𝑐|𝑎|.(3)当𝑎0,𝛥0时,恒有f(x)0;当𝑎0,𝛥0时,恒有f(x)0.(4)设f(x)=ax2+bx+c(a0),则二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值的分布情况为①若-𝑏2𝑎∈[m,n],则f(x)max=max{f(m),f(n)},f(x)min=f-𝑏2𝑎;②若-𝑏2𝑎∉[m,n],则f(x)max=max{f(m),f(n)},f(x)min=min{f(m),f(n)}.另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越小.4.常用的数学方法与思想配方法、待定系数法、分类讨论思想、数形结合思想.1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).(1)函数f(x)=x2与f(x)=3x2都是幂函数.()(1)×(2)函数f(x)=ax2+bx+c表示二次函数.()(2)×(3)幂函数的图象恒过定点(1,1),(0,0).()(3)×(4)二次函数的图象是轴对称图形.()(4)√(5)二次函数y=x2+mx+1在区间[1,+∞)上单调递增的充要条件是m≥-2.()(5)√2.已知某二次函数的图象与函数y=2x2的图象的形状一样,开口方向相反,且其顶点为(1,3),则该函数的解析式为()A.y=2(x-1)2+3B.y=2(x+1)2+3C.y=-2(x-1)2+3D.y=-2(x+1)2+32.C【解析】设所求函数的解析式为y=a(x+h)2+k(a≠0),由题意可知a=-2,-h=1,k=3,故y=-2(x-1)2+3.3.(2016·江淮十校联考)函数f(x)=1𝑥+ln|x|的图象大致为()3.B【解析】f(x)=1𝑥+ln|𝑥|=1𝑥+ln𝑥(𝑥0),1𝑥+ln(-𝑥)(𝑥0),当x=1时,f(1)=1,所以选项A错误,当x=-1时,f(-1)=-1,所以选项C错误,又当x→+∞时,y0,所以选项D错误,从而选项B正确.4.(2015·泰州二模)已知函数y=𝑥2-2𝑥+𝑎的定义域为R,值域为[0,+∞),则实数a的取值集合为.4.{1}【解析】由题得Δ=4-4a=0,即a=1.5.(2015·惠州调研)已知f(x)=𝑥2-4𝑥(𝑥0),0(𝑥=0),-𝑥2-4𝑥(𝑥0),则不等式f(x)x的解集为.5.(-5,0)∪(5,+∞)【解析】由f(x)x,可得𝑥2-4𝑥𝑥,𝑥0或-𝑥2-4𝑥𝑥,𝑥0,解得x5或-5x0,所以原不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).考点1幂函数的图象与性质命题角度1:利用幂函数的图象判断幂指数大小典例1如图为幂函数y=xn在第一象限的图象,则C1,C2,C3,C4的大小关系为()A.C1C2C3C4B.C2C1C4C3C.C1C2C4C3D.C1C4C3C2【解题思路】利用基本幂函数y=x2,y=x-1,y=x在第一象限作为参考并利用特殊值验算.观察图形可知C10,C20,且C11,而0C21,C30,C40,且C3C4.【参考答案】C命题角度2:利用幂函数的性质比较大小典例2设a=3525,b=2535,c=2525,则a,b,c的大小关系是.【解题思路】化为同底数幂与同指数幂后再进行大小比较.a=3525,𝑐=2525可视为同指数的幂函数𝑦=𝑥25,在第一象限单调递增,所以由2535得25253525,即𝑐𝑎,而𝑏=2535,𝑐=2525可视为同底数的指数函数𝑦=25𝑥,在第一象限单调递减,所以由2535得25252535,即cb,所以得acb.【参考答案】acb1.利用幂函数的图象确定幂指数大小(1)把幂函数化归为由y=x,y=x2,y=x3,y=1𝑥,y=𝑥12五种基本模式构造而成;(2)利用特殊值判定.2.利用幂函数的性质比较幂值的大小的技巧(1)化为同底不同指的指数函数,利用其单调性比较大小;(2)化为同指不同底的幂函数,利用其单调性比较大小.【变式训练】(2015·贵阳模拟)函数y=ax(a0,a≠1)与y=xb的图象如图,则下列不等式一定成立的是()A.ba0B.a+b0C.ab1D.loga2bD【解析】由图可知a1,b0,因此0ab1,选项C错误;而选项A与B不一定成立,如当b=-1,a=3时,ba0,当a=2,b=-3时,a+b0;而loga2loga1=0b,所以只有选项D一定成立.考点2二次函数的解析式典例3(2015·嘉兴统测)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b∈R)满足条件:①当x∈R时,f(x)的最大值为0,且f(x-1)=f(3-x)成立;②二次函数f(x)的图象与直线y=-2交于A,B两点,且|AB|=4.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求最小实数n(n-1),使得存在实数t,只要当x∈[n,-1]时,就有f(x+t)≥2x成立.【解题思路】(1)根据条件得出函数的对称轴、最大值以及|AB|的长度,由此列出方程组得到相应的参数值即可;(2)解不等式转化成恒成立问题,构造函数g(t)=-t-1-2√𝑡来求解.【参考答案】(1)由f(x-1)=f(3-x)可知函数f(x)的对称轴为x=1,由f(x)的最大值为0,可设f(x)=a(x-1)2(a0),令a(x-1)2=-2,解得x=1±-2𝑎,则易知2-2𝑎=4,即𝑎=−12,所以f(x)=-12(x-1)2.(2)由f(x+t)≥2x可得-12(x-1+t)2≥2x,即x2+2(t+1)x+(t-1)2≤0,解得-t-1-2√𝑡≤𝑥≤−𝑡−1+2√𝑡.又f(x+t)≥2x在x∈[n,-1]时恒成立,可得-𝑡-1-2√𝑡≤𝑛,①-𝑡-1+2√𝑡≥-1,②由②得0≤t≤4,令g(t)=-t-1-2√𝑡,易知𝑔(𝑡)=−𝑡−1−2√𝑡单调递减,g(t)≥g(4)=-9,故n≥-9,则n能取到的最小实数为-9,此时存在实数t=4,只要当x∈[n,-1]时,就有f(x+t)≥2x成立.二次函数的表达式及选择依据(1)一般式y=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式y=a(x-m)2+n(a≠0);(3)两根式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).选择依据:已知三点通常选用一般式,已知顶点与对称轴通常选用顶点式,已知图象与x轴的交点通常选用两根式.【变式训练】(2015·山东枣庄八中月考)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R).(1)若函数f(x)的图象过点(-2,1),且方程f(x)=0有且只有一个根,求f(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-1,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.【解析】(1)因为f(-2)=1,即4a-2b+1=1,所以b=2a.因为方程f(x)=0有且只有一个根,即Δ=b2-4a=0,因此解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.(2)因为g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1=(x-𝑘-22)2+1−(𝑘-2)24,所以当𝑘-22≥2或𝑘-22≤-1,即k≥6或k≤0时,g(x)是单调函数.考点3二次函数的图象与性质命题角度1:二次函数的最值问题典例4已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2,求实数a的值.【解题思路】动轴定区间问题,应将对称轴从左向右移动进行讨论.【参考答案】当对称轴x=a0时,如图1所示,当x=0时,y有最大值ymax=f(0)=1-a,∴1-a=2,即a=-1,且满足a0,∴a=-1.当对称轴0≤a≤1时,如图2所示,当x=a时,y有最大值ymax=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1.∴a2-a+1=2,解得a=1±√52,∵0≤a≤1,∴a=1±√52均应舍去.当对称轴a1时,如图3所示,当x=1时,y有最大值,ymax=f(1)=2a-a=2,∴a=2,且满足a1,∴a=2.综上可知,a的值为-1或2.命题角度2:一元二次不等式恒成立问题典例5(2015·银川九中一模)已知f(x)=𝑥2-2(𝑥≤0),3𝑥-2(𝑥0),若|f(x)|≥ax在x∈[-1,1]上恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1]∪[0,+∞)B.[-1,0]C.[0,1]D.[-1,0)【解题思路】利用分类讨论,将不等式恒成立问题转化.因为f(x)=𝑥2-2(𝑥≤0),3𝑥-2(𝑥0),所以在区间[−1,1]上|𝑓(𝑥)|的表达式为|𝑓(𝑥)|=-𝑥2+2𝑥∈[-1,0),-3𝑥+2𝑥∈0,23,3𝑥-2𝑥∈23,1,①当x∈[-1,0)时,-x2+2≥ax恒成立,即a≥-x+2𝑥,易知𝑓(𝑥)=−𝑥+2𝑥在𝑥∈[−1,0)时单调递减,故𝑓(𝑥)max=1+2-1=-1,故a≥-1.②当x∈0,23时,−3𝑥+2≥𝑎𝑥恒成立,即𝑎≤−3+2𝑥,易知𝑓(𝑥)=−3+2𝑥在𝑥∈0,23时单调递减,所以𝑓(𝑥)min=−3+223=0,即a≤0.③当x∈23,1时,3𝑥−2≥𝑎𝑥恒成立,即𝑎≤3−2𝑥,易知函数𝑓(𝑥)=3−2𝑥单调递增,故𝑓(𝑥)min=3−223=0,所以a≤0.综上可得a的取值范