3-3 泰勒 ( Taylor )公式

二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒(Taylor)公式第三章一、引言：泰勒公式的意义利用多项式在一点附近逼近函数：)()()(xRxPxfnn)()(xPxfnn次近似多项式余项nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010nnxxoxR)()(0泰勒多项式的阶数展开点例如：sinx在x＝0点展开2k-1次近似多项式12212153!)12(])12(sin[!)12()1(!5!3sinkkkxkkkxxxxx余项o(X2k-1)一次逼近：sinxx三次逼近：3sin3!xxx五次逼近：35sin3!5!xxxx)()()(xRxPxfnn)()(xPxfn问题：nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010（1）怎样确定多项式系数a0…an？（2）怎样确定余项？目的：找多项式Pn(x)要求：)()(00xfxPn)()(00xfxPn.........)()(0)(0)(xfxPnnn)()(00xfxPn点近似的含义是什么？在与问题：0)()(xxfxPn二、确定泰勒多项式系数——待定系数法nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(020201010021)()(2)(nnnxxnaxxaaxP20032)()1()(232)(nnnxxannxxaaxPnnnannnxP12)2)(1()()(.........00)(axPn10)('axPn202)(''axPnnnnanxP!)(0)()()(00xfxPn要求)(00xfa)(')('00xfxPn要求)('01xfa)('')(''00xfxPn要求2)(''02xfa)()(0)(0)(xfxPnnn要求!)(0)(nxfann于是阶泰勒多项式点的在nxxf0)(nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)())(()()(00)(200000!)(0)(nxfann即：多项式系数公式三、泰勒(Taylor)中值定理有时当则阶导数有在点若函数,,00xxnxf])[()(!)()(!2)())(()()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf)()(])[(,00xxxRxxnn其中()佩亚诺余项定理1:[证]])(!)()(!2)())(()([)()(00)(200000nnnxxnxfxxxfxxxfxfxfxRnnxxxxxR)()(lim0010)()(lim0nnxxxxnxR20))(1()(lim0nnxxxxnnxR)(!)(lim0)1(0xxnxRnnxx0(1)(1)00()()1lim[]!()nnnnxxRxRxnxx应用罗必达法则0只须证明能否再用罗比达法则？应用导数定义不能再用罗必达法则！()01()0!nnRxn10)1(00)(200000)(!)1()()(!)()(!2)())(()()(nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf10)1()()!1()()(nnnxxnfxR)(0之间与在xx拉格朗日余项有则导数阶的各阶到内有开区间在内的在某个包含点若函数),,(,)1(1),(0baxnbaxf定理2:证明:由假设,)(xRn在),(ba内具有直到)1(n阶导数,且两函数)(xRn及10)(nxx在以0x及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得)())(1()(01011之间与在xxxnRnn0)()()()()(10010nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000xRxRxRxRnnnnn如此下去,经过)1(n次后,得两函数)(xRn及nxxn))(1(0在以0x及1为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得0))(1()()())(1()(0101011nnnnnxnxRRxnR!1)()()()1(10nRxxxRnnnn(之间与在nx0,也在0x与x之间))())(1()(1021022之间与在xxnnRnn30[1]()ln1.fxxxxLagrange例写出函数在处带余项的四阶泰勒公式0)1(,ln)(3fxxxf1)1(,ln3)(22fxxxxf5)1(,5ln6)(fxxxxf11)1(,11ln6)(fxxf6)1(,6)()4()4(fxxf[解]2)5(2)5(6)(,6)(fxxf于是524323)1(!56)1(!46)1(!311)1(!25)1(lnxxxxxxx)1,(之间与在其中x注意:(1)当n=0时,泰勒公式变为)(xf)(0xf))((0xxf(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0xf))((00xxxf20)(!2)(xxf可见误差)(xf)(0xf))((00xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx()2(0)(0)()(0)(0)2!!()nnnfffxffxxxnox)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2nnnnxnxfxnfxfxffxf注3：在零点展开——麦克劳林(Maclaurin)公式四、几个常用初等函数的麦克劳林公式(1)求xexf)(的n阶麦克劳林公式.解,)()()()(xnexfxfxf1)0()0()0()0()(nffffxnexf)()1(注意到代入公式,得).10()!1(!!2112nxnxxnenxxxe)sin(x)()(xfkxsinx!33x!55x!)12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012mk,)1(1m),2,1(m1)1(m)10(12mx!)12(m（2）求()sinfxx的n阶麦克劳林公式.解五个常用函数的麦克劳林公式211112!!(1)!xxnneexxxxnn35211212sin(1)3!5!(21)!sin[(21)](21)!mmmxxxxxmxmxm)(!1!2112nnxxoxnxxe352112sin(1)()3!5!(21)!mmmxxxxxoxm24222cos1(1)2!4!(2)!sin[(1)](22)!mmmxxxxmxmxm24221cos1(1)()2!4!(2)!mmmxxxxoxmnxxxxxnn132)1(32)1ln(11(1)(1)(1)nnnxnx)()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx211(1)(1)12!(1)(1)!(1)()(1)(1)!nnnxxxnxnnxxn)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx五、简单的应用1近似计算2求极限3求高阶点导数3证明200000)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)(有时当,00xnnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2两个公式的误差分别为时当,)()1(Mxfn110!)1()(!)1()(nnnnxnMxRxxnMxR和（一）近似公式弃去余项，得近似公式!)1(!1!21111nenex令.10?4nRn才可以使误差问：取解nxxnxxe!1!2112410!)1(3nRn7,n只需取经试算!71!2111e7182.2718254.2000198.0001389.0008333.0041667.0166667.05.2例2.近似计算e的值，使误差不超过10-422222011[3]lim(cos)sin()xxxxxex例求极限)(42121114422xoxxx[解]（二）求未定型极限221cos1()2xxox2221()xexox利用皮亚诺型余项泰勒公式)sin()(cos11lim222022xexxxxx4418222302()lim[()]xxoxxoxx441844302()lim()xxoxxox224242282222021[1()]lim{[1()][1()]}xxxxxoxoxxoxx121例4求n阶的麦克劳林公式，并求3(6)0(sin)xxx解：利用已有的sinx的麦克劳林级数（间接展开）(3)335332sinsin[...]()3!5!(3)!nnnxxxxxxxoxn(3)6842sin...()3!5!(3)!nnnxxxxoxn3(6)01(sin)6!1203!xxx例5若在[0，1]上有三阶导数，且(0)(1)0,ff3()(),Fxxfx试证：在（0，1）内存在一个，使()0.F证：由泰勒公式23(0)()()(0)(0)2!3!FFFxFFxxx23()3()()Fxxfxxfx，23()6()6()()Fxxfxxfxxfx所以(0)(0)(0)0FFF所以3()()3!FFxx因为(1)(1)0,Ff所以()03!F(x)f(01)得证。2[6]()[,],()()0,(,)4,()()()()fxabfafbabffbfaba例设在上二阶可导且则在内至少存在一点使得得勒公式拉格朗日余项的一阶泰处展开成带和分别在将,)(bxaxxf[证])1()(!2)()()(!2)())(()()(2121axfafaxfaxafafxf)2()(!2)()()(22bxfbfxf得两式、代入取,)2()1(,2bax21)2(!2)()()2(abfafbaf)2,(1baa22)2(!2)()()2(bafbfbaf),2(2bba4)(2)()()()(221abffafbf4)(2)()()()(221abffafbf.)()(,,)()(,122211时当时当ffff4)()(2abf)()()(4)(,),(,2afbfabfba