广东省高中数学必修二教案：直线、平面垂直的性质

第1页共13页广东省高中数学必修二教案：直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,lmlm图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//lmlm图形语言：第2页共13页3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l于A，APl，则AP．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,mllml图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论第3页共13页如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，第4页共13页两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a，b都平行于平面，求证：AB⊥；（2）若a，b分别垂直于平面，，且c，求证：AB∥c．【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c．证明：（1）如图（1），在内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面的交线为b＇．∵a∥，b∥，∴a∥a＇，b∥b＇．又∵AB⊥，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥．（2）如图，过B作BB＇⊥，则AB⊥BB＇．又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．∵b⊥，∴b⊥c，∵BB＇⊥，∴BB＇⊥c．∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．故c∥AB．第5页共13页【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m，则l⊥B．若l⊥，l∥m，则m⊥C．若l∥，m，则l∥mD．若l∥，m∥，则l∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由AB⊥PD可得PD⊥面ABE。【解析】（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，∵AE⊂面PAC，故CD⊥AE．第6页共13页（2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．举一反三：【变式1】如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F．（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．【解析】证明：（1）∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC．∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE．又AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC．又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC．（2）∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG．又由（1）有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，第7页共13页∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．【变式2】如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．【解析】要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线．注意到M、N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可．证明如下．证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则EN12CD12ABAM，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．由(1)知，需证AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．第8页共13页∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．又∠PDA=45°，E为PD的中点．∴AE⊥PD，即MN⊥PD．又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD．【总结升华】本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸多知识点的一道综合题．(1)的关键是选取PD的中点E，所作的辅助线使问题处理的方向明朗化．线线垂直→线面垂直→线线垂直．类型二：平面与平面垂直的性质例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．【解析】已知：，，l，求证：l．证法1：如图（左），在内取一点P，作PA垂直于与的交线于A，PB垂直于与的交线于B，则PA⊥，PB⊥，∵l，∴l⊥PA，l⊥PB．∵PA，PB，PA∩PB=P，∴l．第9页共13页证法2：如图（右），在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线，∵，，∴m，n，∴m∥n．又n，∴m∥，∴m∥l，∴l．证法3：如图，在l上取一点A，过A作直线m，使m．∵，且Al，∴m．同理m，∴ml，即l与m重合．∴l．【总结升华】证法1、证法2都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2的关键．证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷．由此可见，我们必须熟练掌握这一推论．举一反三：【变式1】如下图，已知PA⊥平面ABC，二面角A—PB—C是直二面角．求证：AB⊥BC．证明：二面角A—PB—C为直二面角，即平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线．在平面PAB内，过A作AD⊥PB，D为垂足（如图），则AD⊥平面CPB，又BC平面CPB，所以AD⊥BC．因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，第10页共13页所以PA⊥BC，又PA∩AD=A，因此，BC⊥平面PAB，又AB平面PAB，所以AB⊥BC．【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面），利用它可以作出二面角的平面角、直线与平面所成的角、平面的垂线等．类型三：综合应用例4．如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC．（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM=MA1吗？请叙述你的判断理由．【解析】（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥平面BB1C1C．∴AD⊥CC1．（2）延长B1A1与BM的延长线交于N，连接C1N．∵AM=MA1，∴NA1=A1B1．∵A1C1=A1N=A1B1，∴C1N⊥B1C1，∴C1N⊥侧面BB1C1C，∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C．（3）AM=MA1，证明如下：过M作ME⊥BC1于E，∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C，∴ME⊥侧面BB1C1C．又∵AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A共面．第11页共13页∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE．∴四边形ADEM为平行四边形．∵CC1∥AM，∴DE∥CC1．∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点．∴111122AMDECCAA，∴AM=MA1．【总结升华】垂直关系在立体几何中无处不在，是重中之重，我们必须做好它们之间的相互转化工作，即直线与直线垂直直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的定义直线与平面垂直平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直．举一反三：【变式1】如下图，已知三棱锥P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．（1）求证：PA⊥平面ABC；（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明：（1）如下图（左），在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F．因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC．又PA平面PAC，所以DF⊥PA．作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA．第12页共13页又因为DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D，所以PA⊥平面ABC．（2）连接BE并延长交PC于H，如上图（右）．因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BE．又已知AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE．所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AB．又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC，即△