成都理工大学同济版高数下期未考试历年真题(4)答案

－（高等数学Ⅰ）1－同济版高数下期未考试历年真题(4)答案一、填空题（每题3分，共24分）1、将xOy坐标面上的双曲线2244xy绕x轴旋转一周所得的旋转曲面方程为22244xyz（）2、函数22zxy在点(1,1)P处的方向导数lz的最大值是223、级数11(1)2nnnxn的收敛域为[1,3)4、级数12(1)2nnn565、二重积分20sinxydxdyy16、设D为平面区域2249xy及0x，则21(siny)Dxdxdy527、L为上半圆周122yx，0y沿逆时针方向的积分221()Lxydxxydy2.8、设1sinnnnxbx，x-则nb121nn。二、单项选择题（每题3分，共18分）9、下列说法正确的是（B）．（A）若函数),(yxfz在点),(00yx处各偏导数存在，则函数在该点可微分．得分得分－（高等数学Ⅰ）2－（B）若函数),(yxfz在点),(00yx处可微分，则函数在该点的偏导数一定存在．（C）若函数),(yxfz在点),(00yx处连续，则函数在该点的偏导数一定存在．（D）若函数),(yxfz在点),(00yx处偏导数存在，则函数在该点一定连续．10、设函数),(yxfz在点),(00yx处存在对yx,的偏导数，则),(00yxfx（A）（A）xyxxfyxfx),(),(lim00000（B）xyxfyxxfx),(),2(lim00000（C）xyxfyyxxfx),(),(lim00000（D）000),(),(lim0xxyxfyxfxx11、设级数1nnu收敛，则下列级数中必收敛的级数为（A）.A．)(11nnnuuB．12nnuC．1nnuD．nunnn1)1(12、已知函数22(,)fxyxyxyxy，则yyxfxyxf),(,),(分别为（C）（A）21y,（B）21,x（C）12,y（D）22,xyyx13、已知函数(,)fxy在点(0,0)的某个邻域内连续，且2200(,)lim11cos()xyfxyxy，则（D）－（高等数学Ⅰ）3－（A）点(0,0)不是(,)fxy的极值点；（B）点(0,0)是(,)fxy的极小值点；（C）无法判断点(0,0)是否是(,)fxy的极值点；（D）点(0,0)是(,)fxy的极大值点；14、函数2cos()x的马克劳林级数为（C）（A）202()!nnxn（B）2012()(!)nnnxn（C）4012()()!nnnxn（D）4112()()!nnnxn三、计算题（每题5分，共35分）15、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zyx的平面方程.解：设点A(3,1,-2)和直线上的点B430(,,)（1分）142(,,)AB,521s(,,)（1分）所求平面的法向量：nABs8922(,,)（2分）平面方程：8922590xyz（1分）16、求曲线22260+xyzxyz在点0112P(,,)处的切线和法平面方程解：两边对x求导得：222010xxxxxyyzzyz（2分）解得1121(,,)xy，1120(,,)xz得分－（高等数学Ⅰ）4－切线量110(,,)s（1分）切线方程：11110xyz（1分）法平面方程：20xy（1分）17、求曲面23zzxye在点（1，2，0）处的切平面方程。解：令23F(,,)zxyzxyez2,,zxyzFyFxFe（1分）曲面在点（120,,）处的法向量n=213(,,)（2分）切平面方程：2340xyz（2分）18、计算曲面积分()dxyzS，其中曲面以A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）为顶点的三角形平面区域。解：平面方程：1xyz（1分）原式=2211xyxyDdSzzdxdy（1分）3xyDdxdy（2分）32（1分）19、在曲面21zxy上求点，使其到原点的距离最短。解：设所求点为),(yxPP到原点的距离222zyxd（1分）2222zyxd令22221(,,)()Fxyzxyzzxy（1分）－（高等数学Ⅰ）5－令2202022010=xyzFxyFyxFzzzxy解得01,xyz（2分）由题可以判定所求点为001001(,,)(,,)和（1分）20、设2(,)zfxxy且),(yxfz偏导数均连续，求xz和xyz2解：122zxfyfx（2分）2210fxfxfyz（1分）222212222122212()zfxxfyffxfxyfyx（2分）21、求极限001cos()lim()sin()xyxyxyxy证：0x时212sin,cosxxxx（1分）原式=2002()lim()xyxyxyxy（2分）002()limxyxyxy（1分）（1分）四、解答题（每题6分，共18分）22、L为上半圆周221xy及x轴所围成的的整个边界，求2222()xyLxexyds得分－（高等数学Ⅰ）6－解：设点)0,1(A和)0,1(B由奇偶和对称性220xyLxeds（2分）2222()xyLxexyds=220()Lxyds221()ABABdsxydx（2分）1211212xdx（1分）23（1分）23、求3331()xdydzydzdxzdxdy，其中，为半球面02222zRzyx,的上侧即曲面的方向与z轴的正向夹角为锐角；解：补上平面22210:zxyR，取下侧，由高斯公式13332221333()()xdydzydzdxzdxdyxyzdv（1分）dvzyx)(322222220003sinRddrrdr（1分）556R（1分）又1333211(()xyDxdydzydzdxzdxdydxdyR（2分）3331()xdydzydzdxzdxdy11333(1+xdydzydzdxzdxdy）5265+RR（1分）24、将函数1()fxx展开为3()x的幂级数。－（高等数学Ⅰ）7－解：因1111333313()xxx（2分）013133()nnnx3113x（2分）10133()()nnnnx06x（2分）五、证明题（共5分）25、证明：222xedx证:令22xIedx22222xyIedxedy（2分）222xyedxdy（1分）22200ded（1分）2202()e2（1分）得分