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二次函数【知识清单】1、一般的,形如2(0,,,)yaxbxcaabc是常数的函数叫二次函数。例如222212,26,4,5963yxyxyxxyxx等都是二次函数。注意:系数a不能为零,,bc可以为零。2、二次函数的三种解析式(表达式)①一般式:2(0,,,)yaxbxcaabc是常数②顶点式:2()(,,0)yaxhkahka为常数,且,顶点坐标为(,)hk③交点式:1212()()(0,,)yaxxxxaxxx其中是抛物线与轴的交点的横坐标3、二次函数的图像位置与系数,,abc之间的关系①a:决定抛物线的开口方向及开口的大小。当0a时,开口方向向上;当0a时,开口方向向下。||a决定开口大小,当||a越大,则抛物线的开口越小;当||a越小,则抛物线的开口越大。反之,也成立。②c:决定抛物线与y轴交点的位置。当0c时,抛物线与y轴交点在y轴正半轴(即x轴上方);当0c时,抛物线与y轴交点在y轴负半轴(即x轴下方);当0c时,抛物线过原点。反之,也成立。③ab和:共同决定抛物线对称轴的位置。当02ba时,对称轴在y轴右边;当02ba时,对称轴在y轴左边;当02ba(即当0b时)对称轴为y轴。反之,也成立。④特别:当1x时,有yabc;当1x时,有yabc。反之也成立。4、二次函数2()yaxhk的图像可由抛物线2yax向上(向下),向左(向右)平移而得到。具体为:当0h时,抛物线2yax向右平移h个单位;当0h时,抛物线2yax向左平移h个单位,得到2()yaxh;当0k时,抛物线2()yaxh再向上平移k个单位,当0k时,抛物线2()yaxh再向下平移k个单位,而得到2()yaxhk的图像。5、抛物线2(0)yaxbxca与一元二次方程20(0)axbxca的关系:①若抛物线2(0)yaxbxca与x轴有两个交点,则一元二次方程20(0)axbxca有两个不相等的实根。②若抛物线2(0)yaxbxca与x轴有一个交点,则一元二次方程20(0)axbxca有两个相等的实根(即一根)。③若抛物线2(0)yaxbxca与x轴无交点,则一元二次方程20(0)axbxca没有实根。6、二次函数2(0,,,)yaxbxcaabc是常数的图像与性质关系式2(0)yaxbxca2()(0)yaxhka图像形状抛物线顶点坐标24(,)24bacbaa(,)hk对称轴2bxaxh增减性0a在图像对称轴左侧,即2bxa或xh,y随x的增大而减小;在图像对称轴右侧,即2bxa或xh,y随x的增大而增大;在图像对称轴左侧,即2bxa或xh,y随x的增大0a而增大;在图像对称轴右侧,即2bxa或xh,y随x的增大而减小;最大值最小值0a当2bxa时,24=4acbya最小值当xh时,=ky最小值0a当2bxa时,24=4acbya最大值当xh时,=ky最大值【考点解析】考点一:二次函数的概念【例1】下列函数中是二次函数的是()2.81Ayx.81Byx8.Cyx23.4Dyx【解析】根据二次函数的定义即可做出判断,A中281yx符合2(0)yaxbxca的形式,所以是二次函数,,BC分别是一次函数和反比例函数,D中右边234x不是整式,显然不是二次函数。【答案】A【例2】已知函数2234(2)3(1)mmymmxmxm是二次函数,则m_____。【解析】根据二次函数的定义,只需满足两个条件即可“二次项系数不为零,且x的最高次数为2”。故有2220342mmmm,解得0212mmmm且或,综上所述,m取2。【答案】2【针对训练】1、若函数22(2)mymxmx是二次函数,则该函数的表达式为__________y。考点二:待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例1】已知点8,a在二次函数2axy的图象上,则a的值是()2.A2.B.C22.D【解析】因为点8,a在二次函数2axy的图象上,所以将点8,a代入二次函数2axy中,可以得出3a8,则可得2a,【答案】.A【例2】若二次函数cbxaxy2的x与y的部分对应值如下表,则当1x时,y的值为()x765432y271333535.A3.B13.C27【解析】设二次函数的解析式为khxay2,因为当4x或2时,3y,由抛物线的对称性可知3h,5h,所以532xay,把3,2代入得,2a,所以二次函数的解析式为5322xy,当3x时,27y。【答案】C【针对训练】1、过0,1,0,3,2,1三点的抛物线的顶点坐标是().A2,12.(1,)3B5,1.C14.(2,)3D2、无论m为何实数,二次函数2xymxm2的图象总是过定点()3,1.A0,1.B3,1.C0,1D【例3】如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数cbxaxy2的图象顶点为2,2.A,且过点2,0B,则y与x的函数关系式为().A22xy.B222xy.C222xy.D222xy【解析】设这个二次函数的关系式为222xay,将2,0B代入得22022,解得:1a,故这个二次函数的关系式是222xy,【答案】D【针对训练】1、过0,1,0,3,2,1三点的抛物线的顶点坐标是_____。考点三:二次函数的图像与性质的综合应用(与系数,,abc的关系)【例1】已知二次函数bxay2)1()0(a有最小值1,则a、b的大小关系为().Aba.Bba.Cba.D不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数bxay2)1()0(a有最小值1,所以0a,1b,1b,所以ba。【答案】.A【针对训练】1、二次函数1422xxy的最小值是。2、二次函数3)1(22xy的图象的顶点坐标是().A)31(,.B)31(,.C)31(,.D)31(,3、抛物线)2(xxy的顶点坐标是().A)11(,.B)11(,.C)11(,.D)11(,【例2】抛物线3)2(2xy可以由抛物线2xy平移得到,则下列平移过程正确的是().A先向左平移2个单位,再向上平移3个单位.B先向左平移2个单位,再向下平移3个单位.C先向右平移2个单位,再向下平移3个单位.D先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线2xy向左平移2个单位可得到抛物线2)2(xy,再向下平移3个单位可得到抛物线3)2(2xy。【答案】.B【针对训练】1、已知下列函数:(1)2xy;(2)2xy;(3)2)1(2xy。其中,图象通过平移可以得到函数322xxy的图象的有(填写所有正确选项的序号)。2、将抛物线22xy向上平移一个单位后,得到新的抛物线,那么新的抛物线的表达式是。3、将抛物线2xy向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是().A22xy.B2)2(xy.C2)2(xy.D22xy【例3】二次函数cbxaxy2的图象如图所示,则下列关系式错误的是().A0a.B0c.C042acb.D0cba【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知,抛物线的开口方向向上,抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,与x轴有两个交点,所以0a,0c,042acb,且当1x时,0cbay。显然选项A、B、C都正确,只有选项D错误。【答案】.D【例4】已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示,对称轴为直线1x,则下列结论正确的是().A0ac.B方程02cbxax的两根是11x,32x.C02ba.D当0x时,y随x的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知0a,0c,故A错误;因对称轴为直线1x,所以12ab,故C错误;由图象可知当01x时,y随x的增大而增大,故D错误;由二次函数的对称性可知B选项正确,【答案】.B【针对训练】1、在同一平面直角坐标系中,函数mmxy和函数222xmxy(m是常数,且0m)的图象可能是().A.B.C.D2、已知抛物线cbxaxy2)0(a在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中,正确的是().A0a.B0b.C0c.D0cba3、在反比例函数中xay)0(a,当0x时,y随x的增大而减小,则二次函数axaxy2的图象大致是().A.B.C.D考点四:二次函数的实际应用【例1】某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件,受美元走低的影响,从去年1至9月,该配件的原材料价格一路攀升,每件配件的原材料价格1y(元)x与月份(91x,且x取整数)之间的函数关系如下表:月份x123456789价格1y(元/件)560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台,原材料价格的涨势趋缓,10至12月每件配件的原材料价格2y(元)与月份x(10≤x≤12,且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势:(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,直接写出1y与x之间的函数关系式,根据如图所示的变化趋势,直接写出2y与x之间满足的一次函数关系式;(2)若去年该配件每件的售价为1000元,生产每件配件的人力成本为50元,其它成本30元,该配件在1至9月的销售量1p(万件)与月份x满足函数关系式1.11.01xp(1≤x≤9,且x取整数)10至12月的销售量2p(万件)与月份x满足函数关系式9.21.02xp(10≤x≤12,且x取整数).求去年哪个月销售该配件的利润最大,并求出这个最大利润;(3)今年1至5月,每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元,人力成本比去年增加20%,其它成本没有变化,该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高%a,与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少%1.0a.这样,在保证每月上万件配件销量的前提下,完成了1至5月的总利润1700万元的任务,请你参考以下数据,估算出a的整数值.(参考数据:992=9901,982=9604,972=9409,962=9216,952=9025)【考点】涉及函数模型,把实际问题转化为函数,用函数的观点来解决问题,综合性比较强,一般还涉及不等式,最值问题。【解析】(1)把表格(1)中任意2点的坐标代入直线解析式可得1y的解析式.把(10,730)(12,750)代入直线解析式可得2y的解析式,;(2)分情况探讨得:1≤x≤9时,利润=1p×(售价﹣各种成本);10≤x≤12时,利润=2p×(售价﹣各种成本);并求得相应的最大利润即可;(3)根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可。解:(1)设bkxy,则5802560bkbk错误!未找到引用源。,解得错误!未找到引用源。5420bk,∴540201xy(1≤x≤9,且x取整数);设baxy2,则错误!未找到引用源。75127310baba,解得错误!未找到引用源。6310ba,∴630102xy(10≤x≤12,且x取整数);(2)设去年第x月的利润为W元.1≤x≤9,且x取整数时450)4(2418162)30501000(2211
本文标题:2015二次函数复习专题讲义
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