北京中考数学24题分类讲解

1/17等腰、等边+旋转东城2-24.已知：等边ABC中，点O是边AC,BC的垂直平分线的交点，M,N分别在直线AC,BC上，且60MON．(1)如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．东城1-24.已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB=32，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=32，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的函数关系式．2/17燕山1-24.已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M.（1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP:PB的值和∠AMC的度数；（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论.（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°α120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数.顺义1-25．问题：如图1，在Rt△ABC中，90C，30ABC，点D是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在ACB的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由BAC的度数为，点E落在，容易得出BE与DE之间的数量关系为；（2）当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．DBCAABC(D)图3图2CMDAPB图1DEBCA3/17延庆1-24.如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DCAD下面的证法供你参考：把ACD绕点A瞬时间针旋转60得到ABE，连接ED，则有ABEACD,DC=EB∵AD=AE,60DAE∴ADE是等边三角形∴AD=DE在DBE中，BD+EBDE即：BD+DCAD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图2，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合），求证：BD+DC2AD（2）若点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论.创新应用：（3）已知：如图3，等腰△ABC中，AB=AC，且∠BAC=（为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC=180º，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明.密云1-24．已知：正方形ABCD中，45MAN，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当MAN绕点A旋转到BMDN时，有BMDNMN．当MAN绕点A旋转到BMDN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BMDN，和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．CABD图2CABD图1CDAB图34/17石景山2-24．在△ABC中，ACAB,D是底边BC上一点，E是线段AD上一点,且∠BACCEDBED2．(1)如图1,若∠90BAC,猜想DB与DC的数量关系为；(2)如图2,若∠60BAC，猜想DB与DC的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠BAC，请直接写出DB与DC的数量关系.解：门头沟2-24.有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连结BD、MF，此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．（1）在图1中，请你判断直线FM和BD是否垂直？并证明你的结论；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少.ABCDEAEBCD图1图2CDMABFE图1DMABF图3NF2PA2M2DMABFD1图2B1K5/17延庆2-24.（1）如图1：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=60°时，猜想AB与BD+CD数量关系，请直接写出结果；（2）如图2：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=45°时，猜想AB与BD+CD数量关系并证明你的结论；（3）如图3：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=（20°≤≤70°）时，直接写出AB与BD+CD数量关系(用含的式子表示)。间接利用旋转变换添加辅助线朝阳-2-24.如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点.（1）求证：△DMN是等边三角形；（2）连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P.求证：DP＝DQ.同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.NMDEFABC图1DABC图2DACB图3DABC6/17图1图2FODBFODBACACEE密云225．已知菱形ABCD的边长为1，60ADC，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出11DMDN的值．平谷-1-24．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线ACBD相交于O.（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF=90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF=45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明.7/17怀柔1-24．探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=21∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..平谷2-24．如图1，若四边形ABCD、GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE．（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（2）当正方形GFED绕D旋转到B，D，G在一条直线（如图3）上时，连结CE，设CE分别交AG、AD于P、H．①求证：AG⊥CE；②如果AD=4，DG=2，求CE的长．ABCDEFG图2ABCDEFG图1PHACDBGEF图38/17与中点有关的问题海淀2-海淀25.在矩形ABCD中,点F在AD延长线上，且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中点,点E在直线CF上（点E、C不重合）.（1）如图1,若AB=BC,点M、A重合,E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及BMCE的值,并证明你的结论;（2）如图2，且若AB=BC,点M、A不重合,BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立,若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;（3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立,请直接写出你的结论.图1图2图3丰台1-24．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．DCBAEMMEABCDFA(M)DNDACEDNMBFECBFNMECBA9/17丰台2-24．在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F．（1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当ABAC，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1图2海淀1-24．在□ABCD中，∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC,N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．（1）如图1，若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上,当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.图1图2AEFPBDCCEBADFPMBDCFEANPPNAEFCDB10/17丰台1-24．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．轴对称+中点+旋转思想添加辅助线西城24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．(1)求证：BF∥AC；(2)若AC边的中点为M，求证：2DFEM；(3)当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．图1图2DCBAEMMEABCD11/17轴对称思想添加辅助线门头沟1-24.已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．（1）如图l，当∠ACB=90°时，直接写出线段DE、CE之间的数量关系；（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证