大学文科数学课件-张国楚-第四章

第四章导数的应用问题教学目标及重点1、认识中值定理、洛必达法则2、基本掌握用导数研究函数的性质和绘制函数的图像的方法3、掌握利用洛必达法则求极限的方法4、了解业余数学家费马的事迹及其对数学的贡献教学目标教学重点及难点1、拉格朗日中值定理2、洛必达法则求极限的方法3、函数的极大值和最值教学重点教学难点1、用导数研究函数的性质2、利用导数绘制函数的图像教学内容一、联结局部与整体的纽带——中值定理二、计算不定式极限的一般方法——洛必达法则三、利用导数研究函数的性质——单调性极值和最大最小值业余数学家之王——费马一联结局部与整体的纽带——中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系，因而称为中值定理。中值定理既是用微分学解决实际问题的理论基础，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型，因而也称为微分基本定理。一联结局部与整体的纽带——中值定理（一）费马定理（二）拉格朗日中值定理（一）费马定理函数的极值设函数在点的某邻域内有定义,如果对于该邻域内任意异于的值,都有:)(xfy0x0xx)()(0xfxf)()(0xfxf或（一）费马定理费马定理如果函数在点处有极值且在处可导，则必有：0'()0fx0x0x注：1.使导数的点称为函数的驻点或稳定点；2.可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。例如：极值点，而对于函数，虽然有，即：'()0fx0x是2()1fxx的驻点3()fxx'(0)0f30()xfxx是函数的驻点，但它不是极值点（二）拉格朗日中值定理罗尔(Rolle)定理若函数)(xf在续，在开区间),(ba内可导，且在区间端点的函数值相等，即),()(bfaf则在),(ba内至少有一点),(ba使.0)(f],[ba上连闭区间例如，).1)(3(32)(2xxxxxf在]3,1[上连续，在)3,1(上可导，且,0)3()1(ff),1(2)(xxf取)),3,1(1(1则有.0)(f],[ba上连续，闭区间（二）拉格朗日中值定理罗尔(Rolle)定理若函数)(xf在在开区间),(ba内可导，且在区间端点的函数值相等，即),()(bfaf则在),(ba内至少有一点),(ba使.0)(f注：一般情形下，定理结论中导数函数的零点不易找到的.罗尔定理的三个条件缺一不可。是（二）拉格朗日中值定理罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.下面分别举例说明之:易见函数)(xf断,不满足闭区间连续的条件,10,0,1||)(xxxxxf1.在闭区间[0,1]的左端点0x处间尽管)(xf在开区间(0,1)内存在,且,1)1()0(ff切线.但显然没有水平（二）拉格朗日中值定理罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.下面分别举例说明之:2.10,01,)(xxxxxf处是不可导的,因此不满足在虽然)(xf在]1,1[内是连续的,且有),1()1(ff但是没有水平切线.)(xf在0x函数开区间可导的条件,（二）拉格朗日中值定理罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.下面分别举例说明之:3.,)(xxf]1,0[x函数)(xf虽然满足在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导的条件,但),1()0(ff显然也没有水平切线.（二）拉格朗日中值定理)(')()(fabafbf)),((ba拉格朗日中值定理设函数满足要求:)(xfy(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得：（二）拉格朗日中值定理注：拉格朗日(Lagrange)中值公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数之间的关系。（二）拉格朗日中值定理推论如果函数在区间（a,b）内的导数恒为零，那么是区间（a,b）内的常数函数。)(xf)(xf（二）拉格朗日中值定理推论1如果函数)(xf在区间I上的导数恒为零，那么)(xf在区间I上是一个常数.证在区间I上任取两点),(,2121xxxx在区间],[21xx上得).())(()()(212121xxxxfxfxf由假设,0)(f于是),()(21xfxf再由21,xx的任意性，)(xf知在区间I上的函数值都相等，即)(xf在区间I上是一个常数.应用拉格朗日中值定理，任意点处（二）拉格朗日中值定理柯西(Cauchy)中值定理闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且)(xg在),(ba内每一点处均不为零,有一点),(ba使得)()()()()()(gfbgagbfaf这是推导洛必达法则的理论基础。如果函数)(xf及)(xg在那么在),(ba内至少教学内容一、联结局部与整体的纽带——中值定理二、计算不定式极限的一般方法——洛必达法则三、利用导数研究函数的性质——单调性极值和最大最小值业余数学家之王——费马二、洛必达法则本节将利用导数作工具，给出计算两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的不定式的极限的一般方法，即洛必达法则。（一）两个基本类型不定式（二）其他类型不定式（一）两个基本类型不定式定理1:如果函数和满足:,0)(',)(')(')2(xgxgxf且存在和1.型不定式)(xf)(xg,0)(,0)(,)1(xgxfxax时或当),()(')('lim)3(或为无穷大存在极限xgxf那么()'()limlim.()'()fxfxgxgx00（一）两个基本类型不定式洛必达法则注:1.上述定理仍然成立;x时,当2.也有与上述定理完全类似的结论:我们把这种在一定条件下导法则.型未定式ax(或),x对通过对分子分母分别求再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达（一）两个基本类型不定式例1用洛必塔法则证明公式:1sinlim0xxx11coslimsinlim00xxxxx证：（一）两个基本类型不定式例220cos1limxxx求：解：212coslim2sinlimcos1lim0020xxxxxxxx（一）两个基本类型不定式例3求xxxxx33123limxxxxx33123lim解：0201333lim221xxx（一）两个基本类型不定式,0)(',)(')(')2(xgxgxf且存在和定理2:如果函数和满足:)(xf)(xg,)(,)(,)1(xgxfxax时或当),()(')('lim)3(或为无穷大存在极限xgxf那么)(')('lim)()(limxgxfxgxf2.型不定式（一）两个基本类型不定式例4求).(lnlimNnxxnx解：,,lnnxx，x时当属于型不定式，依定理2有.01lim1limlnlim1nxnxnxnxnxxxx（一）两个基本类型不定式arctan2lim1xxx例5求解：1arctan0,02xxx当时分式为型不定式。所以当00，x时依定理1可得.1lim111lim2222xxxxxx原式化成了型不定式，运用定理2得.11lim22limxxxx原式（一）两个基本类型不定式例6解求.xxxeexxxsin2lim0xxxeexxxsin2lim0xeexxxcos12lim0xeexxxsinlim0xeexxxcoslim0.2（一）两个基本类型不定式例7解：求arctan02lim()10nnn.型xxx1arctan2lim122111limxxx221limxxx注:若求，为自然数)(1arctan2limnnnn则可利用上面求出的函数极限,得11arctan2limnnn（一）两个基本类型不定式例8解求.xxxlncotlnlim0xxxlncotlnlim0xxxx1)sin1(cot1lim20xxxxcossinlim0xxxxxcos1limsinlim00.1（一）两个基本类型不定式例9解求)()0(lnlim.nxxnx原式11limnxnxxnxnx1lim.0（一）两个基本类型不定式例10解求.limxnxex.为正整数，)0(n反复应用洛必达法则n次,得原式xnxenx1limxnxexnn22)1(limxnxen!lim.0（一）两个基本类型不定式注:对数函数、xln幂函数、nx指数函数)0(xe均为当x时的无穷大,但它们增大的速度很不一样,其增大速度比较:对数函数幂函数指数函数.（一）两个基本类型不定式例11解求.)21ln()cos1(3sin3lim0xxxxx当0x时,,221~cos1xx,xx2~)21ln(故)21ln()cos1(3sin3lim0xxxxx303sin3limxxxx2033cos33limxxxxxx23sin3lim0.29（一）两个基本类型不定式例12解求)0(lim2.xxex对于)0(型,可将乘积化为除的形式,即化为00或型的未定式来计算：xxex2lim2limxexxxexx2lim2limxxe.（一）两个基本类型不定式例13求)()tan(seclim2.xxx解可利用通分化为00型的未定式对于型,来计算.)tan(seclim2xxx)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim2.010（二）其他类型不定式例14求)0(lim00.xxx解xxxxxexln00limlimxxxelnlim0xxxe1lnlim02011limxxxe0e.100,1,0型步骤0010取对数ln01ln0ln0.0教学内容一、联结局部与整体的纽带——中值定理二、计算不定式极限的一般方法——洛必达法则三、利用导数研究函数的性质——单调性极值和最大最小值业余数学家之王——费马三、利用导数研究函数的性质单调性、极值和最值我们已经学会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的极值以及函数的最大值和最小值。但是这些方法使用范围狭小，并且有些需借助某些特殊技巧，因而不具有一般性。本节将以导数为工具，介绍解决上述几个问题的既简便又具有一般性的方法。三、利用导数研究函数的性质（一）函数的单调性（二）函数的极值（三）函数的最大值和最小值（一）函数的单调性定理：设函数在区间（a,b）内可导，则该函数在区间（a,b）内单调增加（单调减少）的充要条件是：)(xfy),,(),0)('(0)('baxxfxf处成立只在个别点而xxf0)('（一）函数的单调性（一）函数的单调性单调区间的求法问题:如何确定函数在定义域内各部分区间函数的单调性.定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间.注意:导数等于零的点和不可导点,均可能是单调区间的分界点.方法:用方程0)('xf的根来划分函数)(xf的定义区间,然后判断区间内导数的符号.)('xf不存在的点及（一）函数的单调性