高中立体几何证明方法和例题

.WORD格式整理....专业知识分享..（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1.线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥线面∥面面∥公理4(a//b,b//cac//)线面平行判定//,//abab面面平行判定1ababa//,//面面平行性质ababAab,//,////线面平行性质aabab////面面平行性质1////aa面面平行性质//////Abaab2.线线、线面、面面垂直关系的转化：线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理PAAOPOaaOAaPOaPOaAO,为在内射影则线面垂直判定1面面垂直判定ababOlalbl,,aa线面垂直定义lala面面垂直性质，推论2baaba,aa面面垂直定义ll，且二面角成直二面角.WORD格式整理....专业知识分享..3.平行与垂直关系的转化：线线∥线面⊥面面∥线面垂直判定2面面平行判定2线面垂直性质2面面平行性质3abab//abab//aa////aaa4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”5.唯一性结论：1.三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。.WORD格式整理....专业知识分享..【典型例题】（一）与角有关的问题例1.（1）如图，E、F分别为三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（）A.60°B.45°C.30°D.120°解：取AC中点G，连结EG、FG，则EGPCFGAB∥∥，1212∴∠EGF为AB与PC所成的角在△EGF中，由余弦定理，cos∠··EGFEGFGEFEGFG222222253725312∴AB与PC所成的角为180°－120°＝60°∴选A（2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（）ABCD....131336332626解：设正四棱锥的高为，斜高为hhh'2212由题意：1241121612222h∴h26.WORD格式整理....专业知识分享..∴侧棱长PBhOB222622262∴∠cosPBOOBPB222621313∴选A（）如图，在正方体中，为上的一个定点，为3111111ABCDABCDPADQABEFCDEF11上的任意一点，、为上任意两点，且的长为定值，有下列命题：①点P到平面QEF的距离为定值；②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；③二面角P—EF—Q的大小为定值；④三棱锥P—QEF的体积为定值其中正确命题的序号是___________。解：平面即是平面QEFABCD11∴上定点到面的距离为定值ADPABCD1111∴①对，②错二面角——，即面与面所成的角，且平面角∠为定PEFQPDFABCDPDA111值，∴③对因为∥，且为定值，∴为定值ABDCEFSQEF11又点到平面的距离为定值，∴为定值，∴④对PQEFVPQEF综上，①③④正确。例2.图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求MN和PQ所成角的大小；（2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；.WORD格式整理....专业知识分享..（3）求二面角M—NQ—P的大小。解：（1）如图②，作出MN、PQ∵PQ∥NC，又△MNC为正三角形∴∠MNC＝60°∴PQ与MN成角为60°（）·213VVSMQMNPQQPMNPMN1621616···正方体SMQSMQVPMNPMDN即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1：6（3）连结MA交PQ于O点，则MO⊥PQ又NP⊥面PAQM，∴NP⊥MO，则MO⊥面PNQ过O作OE⊥NQ，连结ME，则ME⊥NQ∴∠MEO为二面角M—NQ—P的平面角在Rt△NMQ中，ME·NQ＝MN·MQ设正方体的棱长为aMEaaaaMOa236322·，又在中，∠RtMEOMEOMOMEaasin226332∴∠MEO＝60°即二面角M—NQ—P的大小为60°。.WORD格式整理....专业知识分享..例3.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE∵AD⊥PB，∴AD⊥OB（根据___________）∵PA＝PD，∴OA＝OD于是OB平分AD，点E为AD中点∴PE⊥AD∴∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60°又，∴·PEPOPEo36033232sin即为P点到面ABCD的距离。（2）由已知ABCD为菱形，及△PAD为边长为2的正三角形∴PA＝AB＝2，又易证PB⊥BC故取PB中点G，PC中点F则AG⊥PB，GF∥BC又BC⊥PB，∴GF⊥PB∴∠AGF为面APB与面CPB所成的平面角∵GF∥BC∥AD，∴∠AGF＝π－∠GAE连结GE，易证AE⊥平面POB又，为中点PEBEGPB3∴∠∠PEGPEBo1260∴GEPEocos6031232.WORD格式整理....专业知识分享..在中，RtAGEAEAD121∴∠tanGAEGEAE32∴∠GAEarctan32∴∠AGFarctan32所以所求二面角的大小为arctan32（2）解法2：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DAPB（，，），（，，）003203320PBGAG的中点的坐标为（，，），连结033434又（，，），（，，）AC132023320由此得到（，，），（，，），GAPB13434033232BC（，，）200于是·，·GAPBBCPB00∴⊥，⊥GAPBBCPB∴、的夹角为所求二面角的平面角GABC于是··cos||||GABCGABC277∴所求二面角大小为arccos277（二）与距离有关的问题例4.（1）已知在△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离是（）.WORD格式整理....专业知识分享..A.13B.11C.9D.7解：设点P在△ABC所在平面上的射影为OABCOR∵PA＝PB＝PC，∴O为△ABC的外心△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°∴BCo91529151202122cos由，∴aARRsin22123273∴PO1473722（）在直三棱柱中，，，∠2221111ABCABCABBCBBABC90EFo，、分别为、的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的AACBEF111长度为___________。解：（采用展开图的方法）将平面沿旋转使两矩形与在同一平面内BBCCBBAABBBBCC1111111连接，则为所求的最短路径EFEF.WORD格式整理....专业知识分享..如图①，EFAEAF1212221322222如图②展开，EF()2122722222如图③展开，EF3212132222比较这三种方式展开，可见沿表面从到的最短路径长度为。EF322点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。（3）在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140°与西经130°，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是（）ARBRCRDR....12143213解：由题意∠AOBoooo136014013090（O1为小圆圆心）又由题意OAOBR1122则中，1ABABR∴△AOB为正三角形（O为球心）.WORD格式整理....专业知识分享..∴∠AOB3∴、两点球面距离为ABR3∴选D例5.如图，四棱锥P—ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD中点。（1）求证：AF∥平面PEC；（）若＝，，二面角——为，求点到平面2AD2CDPCDBFPECo2245距离。解：G为PC中点，连结FG、EG又∵F为PD中点∴，又∥∥FGCDAECD1212∴∥FGAE∴四边形AEGF为平行四边形∴∥，又面，面AFEGEGPECAFPEC∴AF∥平面PEC（2）∵CD⊥AD，又PA⊥面ABCD∴AD为PD在面ABCD上射影∴CD⊥PD∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，且∠PDA＝45°则△PAD为等腰直角三角形∴AF⊥PD，又CD⊥平面PAD∴CD⊥AF∴AF⊥面PCD作FH⊥PC于H，则AF⊥FH又EG∥AF，∴EG⊥FH∴FH⊥面PEC，∴FH为F到面PEC的距离在Rt△PEG中，FH·PG＝PF·FG∴FH2222122方法2：（体积法）.WORD格式整理....专业知识分享..∵AF∥面PEC，故只要求点A到面PEC的距离d由即··VVSdSPAAPECPAECPECAEC1313易证AF⊥面PCD，∴EG⊥面PCD∴EG⊥PC∴·SPCEGPEC12122222222222SAEBCAEC1212222∴·dSPASAECPEC22221（三）对命题条件的探索例6.（1）如图已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件E点有两个时，a的取值范围是（）AaBa..66CaDa..0606解：∵PA⊥面ABCD，PE⊥DE由三垂线定理的逆定理知PE的射影AE⊥BE所以满足条件的点E是以AD为直径的圆与BC的交点，要有两个交点，则AD＞2AB＝6∴选A（2）如图，在三棱柱ABC－A'B'C'中，点E、F、H、K分别为AC'、CB'、A'B、B'C'的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B'中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（）A.KB.HC.GD.B分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。.WORD格式整理....专业知识分享..而平面PEF中，EF为定直线，连BC'则F为BC'中点故中，∥∥平面，∥平面ACBEFABABPEFABPEF'''考虑到若P为K点，则还有AA'、BB'、CC'都平行于FK即它们也都平行于平面PEF，不合题意。同理P也不能为H点，若P为B'点时，EF与B'A'共面也不符合题意（这时只有一条