第三章流体运动学

§3-1研究流体运动的方法流场：充满运动流体的空间一、基本概念流体质点：由无数流体分子所组成的质量微团，有大小和形状且随时间不断改变。空间点：是几何位置点，无大小和形状，不随时间改变。系统：无数个流体微团的集合。控制体：由空间点组成。拉格朗日简介法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了《分析力学》一书，建立起完整和谐的力学体系。1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。欧拉简介瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。1.Lagrange法（拉格朗日法）二、研究流体运动的两种方法)()()(tcbazztcbayytcbaxx，，，，，，，，，基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。跟踪法初始时刻的位置坐标),,(cba任意时刻的运动坐标),,(zyx区分不同流体质点流体质点的位移a，b，c为Lagrange变量，不是空间坐标函数，是流体质点的标号。ttcbaxtcbauuxx),,,(),,,(ttcbaytcbauuyy),,,(),,,(ttcbaztcbauuzz),,,(),,,(22),,,(),,,(ttcbaxtcbaaaxx22),,,(),,,(ttcbaytcbaaayy22),,,(),,,(ttcbaztcbaaazz速度表达式加速度表达式2.Euler法（欧拉法）(,,,)uuxyzt),,,(tzyxpp),,,(tzyx独立变量：基本思想：考察空间每一点上的物理量及其变化。空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。),,(zyx空间点坐标，时间(t)的函数，也表示流体质点的位移。布哨法运动要素表示为：加速度dtdzzudtdyyudtdxxutudtduaxxxxxxdtdzzudtdyyudtdxxutudtduayyyyyydtdzzudtdyyudtdxxutudtduazzzzzz或zuuyuuxuutuaxzxyxxxxzuuyuuxuutuayzyyyxyyzuuyuuxuutuazzzyzxzzVVtVdtVd)(a当地加速度质点加速度：迁移加速度第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度。第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化而产生的，称为迁移加速度。Lagrange法优缺点√直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程×数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用Euler法的优越性：3.在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。1.利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。2.采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。分别描述有限质点的轨迹同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式简单不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性拉格朗日观点是重要的流体力学最常用的解析方法两种方法的比较Lagrange法Euler法§3-2流场的基本概念一、恒定流与非恒定流恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素均不随时间变化，即非恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素均不随时间变化，即zyx,,0ttzyx,,,0t恒定流非恒定流对于恒定流，只存在迁移加速度二、流线与迹线（一）流线1.定义：表示某瞬时流动方向的曲线，曲线上各质点的流速方向均与该曲线相切。属欧拉法的研究内容强调的是空间连续质点而不是某单个质点形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线2、流线的几个性质：通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化，流线的形状和位置是在不停地变化的。3、流线微分方程xyzuuiujukdSdddxiyjzkijkdS0dddxyzuuuuxyzdd0dd0dd0xyyzzxuyuxuzuyuxuz速度矢量通过该点流线上的微元线段速度与流线相切dddxyzxyzuuu（二）迹线1、定义：流场中某一流体质点的运动轨迹。它是单个质点在运动过程中所占据的空间位置随时间连续变化的轨迹。属拉格朗日法的研究内容tzwtyvtxudddddd（t为自变量，x,y,z为t的函数）三、流管、元流、总流1．流管：在流场中，任意取一封闭曲线（不是流线），由通过该曲线上每一点的流线所围成的管状面，称为流管。2．元流：在微小流管内所有流体质点所形成的流动，称为元流。3．总流:流管内所有流体质点所形成的流动成为总流，即为无数个元流的集合。四、过流截面、流量、平均流速1.过流截面:与元流或总流内各条流线相垂直的横截面称为过流截面，过流截面可以是平面或曲面。2．流量：单位时间内通过某一过流截面的流体体积称为体积流量，简称流量，用符号表示，其常用单位为，工程实际中常用来表示流量。Qsm/3sl/AAudAdQQ3.平均流速：是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。AQudAAvA1五、均匀流、非均匀流、渐变流、急变流1.均匀流：是指流线为直线且相互平行，且同一条流线上各空间点的流速相同的流动。2.非均匀流：流线不是相互平行直线，且同一条流线上各空间点的流速相同的流动。1-2渐变流2-3急变流3-4渐变流4-5急变流3.渐变流和急变流：在非均匀流中，流线之间的夹角较小、流线曲率较小而近似平行直线的流动。否则称为急变流。c-c处渐变流六、一维流动、二维流动、三维流动1.三维流动：若流动要素是三个空间坐标的函数，则这种流动称为三维流动。例如，空气绕地面建筑物的流动、水在自然河道中的流动等。2.二维流动：若流动要素只是两个空间坐标的函数而与第三坐标无关，这种流动称为二维流动。例如，水在矩形渠道中的流动。3.一维流动：流动要素只是一个空间坐标的函数的流动称之为一维流动。通常河道、渠道、管道中，流动要素是三个坐标的函数，如果流速用平均流速来代替，它们的流动也看成一维流动来处理。§3-3流体运动的连续性方程一、三维流动、二维流动的连续性方程在x方向2dxxuuxx2dxx在时间内，沿轴从左边和右边侧面流入六面体的流体质量分别为dtdydzdtdxxuudxxxx)2)(2(dydzdtdxxuudxxxx)2)(2(沿x轴流入和流出六面体的流体质量之差为dxdydzdtxudydzdtdxxudxxudMxxxx)()(同理dxdydzdtzudydxdtdzzudzzudMzzzz)()(dxdydzdtyudxdzdtdyyudyyudMyyyy)()(流入六面体内的流体质量总差为dxdydzdtzuyuxudMdMdMdMzyxzyx)()()(引起密度的变化dtt在瞬时dtt'在微段时间内由密度引起流体的质量变化为dxdydzdttdxdydzdxdydzdttdM)(()()()yxzuuudMdxdydzdtxyz0)()()(tzuyuxuzyx0zuyuxuzyx不可压缩流体三维流动的连续性方程不可压缩流体二维流动的连续性方程物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。0yuxuyx二、恒定总流的连续性方程（1）恒定流动，该段元流的形状、位置不随时间发生变化；（2）没有流体穿过元流，从侧面流入和流出；（3）元流内流体不存在空隙。根据质量守恒定律，在时间内dt222111dAudAu22211121dAudAuAA222111AvAvQAvAv2211不可压缩流体分流332211AvAvAv321QQQ刚体:流体:具有流动性，极易变形移动（move）——线速度转动(rotation)——角速度移动（move）——线速度转动(rotation)——角速度变形（reform）——线变形角变形§3-4流体微团的运动():BADCyudxxxudxx速度分布图xyuxuxxuudyyABCDoyyyuudxxxxxuuudxdyxyxxuudxxyyuudyyyyyuuudxdyxy():CADBxudyyyudyyx方向y方向x方向y方向一、线变形运动//yyyyzzzzuudydtdydtyyuudzdtdzdtzz线变形速率不可压缩流体0yxzVxxyyzzuuuxyz:xuBAdxx水平方向dt线变形/xxxxuudxdtdxdtxx同理xudxdtx/xxuuddydtdydtyy/yyuuddxdtdxdtxx二、角变形运动与旋转运动:xuCAdyy水平方向竖直方向:yuBAdxx纯变形角d纯旋转角'dddd'ddd'dtyuxudddxy)(21)(21dtyuxudddxy)(21)(21')(21xuyuyxyxxy)(21yuxuxyz1()21()2yzyzzyxzxzzxuuyzuuzx1()21()2yzxxzyuuyzuuzx同理角变形速率旋转角速度三、流体微团运动的分解dddddddddxxxxAxyyyyAyzzzzAzuuuuuxyzxyzuuuuuxyzxyzuuuuuxyzxyz1111ddddd22221111dyddd2222yyxxxxxzzxAxyyyyyxxzzyA