2014届高三理科数学一轮复习试题选编23抛物线教师版高中数学练习试题

第1页，共10页2014届高三理科数学一轮复习试题选编23：抛物线一、选择题1．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题）已知直线1:4360lxy和直线2:1lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是（）A．355B．2C．115D．3【答案】B【解析】因为抛物线的方程为24yx，所以焦点坐标(1,0)F,准线方程为1x。所以设P到准线的距离为PB,则PBPF。P到直线1:4360lxy的距离为PA，所以PAPBPAPFFD,其中FD为焦点到直线4360xy的距离，所以22406102534FD，所以距离之和最小值是2，选B．2．（2013北京东城高三二模数学理科）过抛物线24yx=焦点的直线交抛物线于A,B两点,若10AB,则AB的中点到y轴的距离等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】D．3．（2013北京西城高三二模数学理科）已知正六边形ABCDEF的边长是2,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是（）A．34B．32C．3D．23【答案】B;4．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）抛物线22ypx(p0)的焦点为F,已知点第2页，共10页A,B为抛物线上的两个动点,且满足120AFB.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则||||MNAB的最大值为（）A．33B．1C．233D．2【答案】A5．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x,k=±1是直线l与抛物线C有唯一交点的()条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】A6．（2013届北京海滨一模理科）抛物线24yx的焦点为F，点(,)Pxy为该抛物线上的动点，又点(1,0)A，则||||PFPA的最小值是（）A．12B．22C．32D．223【答案】B二、填空题7．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在平面直角坐标系xOy中,设抛物线xy42的焦点为F,准线为Pl,为抛物线上一点,lPA,A为垂足.如果直线AF的倾斜角为120,那么PF_______.【答案】答案4抛物线的焦点坐标为(1,0)F,准线方程为1x.因为直线AF的倾斜角为120,所以060AFO,又tan601(1)Ay,所以23Ay.因为lPA,所以23PAyy,代入xy42,得3Ax,所以3(1)4PFPA.8．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）抛物线2:2Cypx的焦点坐标为1(,0)2F,则抛物线C的方程为___,若点P在抛物线C上运动,点Q在直线50xy上运动,则PQ的最小值等于____.【答案】2922,4yx9．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））直线yaxb与抛物线2114yx相切于点P.若P的横坐标为整数,那么22ab的最小值为______.第3页，共10页【答案】110．（2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系xOy中，点B与点(1,0)A关于原点O对称．点00(,)Pxy在抛物线24yx上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则0x______．【答案】12；三、解答题11．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）（本小题满分13分）已知椭圆M的对称轴为坐标轴,离心率为2,2且抛物线242yx的焦点是椭圆M的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段,OAOB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点.求点O到直线l的距离的最小值．【答案】解：（I）由已知抛物线的焦点为(2,0),故设椭圆方程为22221(0)xyabab，则222,,2,2.2ceab由得所以椭圆M的方程为221.42xy……5分（II）当直线l斜率存在时，设直线方程为ykxm，则由22,1.42ykxmxy消去y得，222(12)4240kxkmxm，…………………6分222222164(12)(24)8(24)0kmkmkm，①…………7分设ABP、、点的坐标分别为112200(,)(,)(,)xyxyxy、、，则：012012122242,()21212kmmxxxyyykxxmkk，…………8分由于点P在椭圆M上，所以2200142xy.………9分从而2222222421(12)(12)kmmkk，化简得22212mk，经检验满足①式.第4页，共10页………10分又点O到直线l的距离为：22221||1122112(1)2211kmdkkk………11分当且仅当0k时等号成立………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(2,0)(2,0)或，直线l的方程为1x，所以点O到直线l的距离为1.所以点O到直线l的距离最小值为22.………13分12．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））如图,已知(3,0)(0)Mmm,,NP两点分别在y轴和x轴上运动,并且满足0MNNQ,12NPPQ.(Ⅰ)求动点Q的轨迹方程;(Ⅱ)若正方形ABCD的三个顶点,ABC,在点Q的轨迹上,求正方形ABCD面积的最小值.MNQPOyx【答案】解:(I)1(,),,(0,),22yQxyNPPQN设因为所以3(3,0),(3,),(,),22yyMmMNmNQx又所以由已知0,MNNQ则23304mxy224,4.ymxQymx即点轨迹方程为(Ⅱ)如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中AB、在x轴的下方(包括x轴),记ABC、、的坐标分别为112233(,),(,),(,)xyxyxy,其中3210yyy并设直线AB的斜率为0kk（＜）第5页，共10页则有21213232()1()yykxxyyxxk①又因为ABC、、在抛物线24ymx上,故有222123123,,444yyyxxxmmm代入①式得12324,4myyymkyk②因为||||ABBC即222212123232()()()()xxyyxxyy所以22132211()1()yykyyk所以2132()()yykyy将②代入可得:2224(42)myykmkyk即22442(1)mmkkyk,得22442(1)mmkkyk正方形的边长为22322||1()1(42)ABkyykmky22441(4)1mmkkkmkk32141(1)kmkkkk221(1)4(1)kkmkk易知22(1)122,12kkkk,所以221(1)442(1)kkmmkkBACDOyx第6页，共10页所以正方形ABCD面积的最小值为232m.13．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，已知抛物线24yx的焦点为F．过点(2,0)P的直线交抛物线于11(,)Axy，22(,)Bxy两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．（Ⅰ）求12yy的值；（Ⅱ）记直线MN的斜率为1k，直线AB的斜率为2k.证明：12kk为定值．【答案】（Ⅰ）解：依题意，设直线AB的方程为2xmy．………………1分将其代入24yx，消去x，整理得2480ymy．………………4分从而128yy．………………5分（Ⅱ）证明：设33(,)Mxy，44(,)Nxy．则221234341121222234123123444444yyyyyykxxyykxxyyyyyyyy．………………7分设直线AM的方程为1xny，将其代入24yx，消去x，整理得2440yny．………………9分所以134yy．………………10分同理可得244yy．………………11分故112121223412444kyyyyyykyyyy．………………13分由（Ⅰ）得122kk，为定值．………………14分14．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））动圆过点(0,2)F且在x轴上截得的线段长为4,记动圆圆心轨迹为曲线C.第7页，共10页(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)已知,PQ是曲线C上的两点,且2PQ,过,PQ两点分别作曲线C的切线,设两条切线交于点M,求△PQM面积的最大值.【答案】解:(Ⅰ)设圆心坐标为(,)xy,那么22222(2)yyx,化简得24xy(Ⅱ)解法一:设1122()()PxyQxy，，，设直线PQ的方程为ykxb,代入曲线C的方程得2440xkxb,所以212124,4,16160xxkxxbkb因为2PQ,所以22221212(1)[()4]4,(1)[1616]4kxxxxkkb所以,222214(1)[]1,4(1)kkbkbk过P、Q两点曲线C的切线方程分别为121122(),()22xxyyxxyyxx两式相减,得22212112()22xxxyyxx2222212112()422xxxxxxx,12xx,1222xxxk代入过P点曲线C的切线方程得,11211()22xxxyyx211121()422xxxxyx,124xxyb即两条切线的交点M的坐标为(2,kb),所以点M到直线PQ的距离为22322222221112(1)kbkbdkkk当0k时,max12d,此时PQM的面积的取最大值maxmax1122SPQd解法二:设1122()()PxyQxy，，，,则过P、Q两点曲线C的切线方程分别为121122(),()22xxyyxxyyxx两式相减得22212112()22xxxyyxx,2222212112()422xxxxxxx,12xx,122xxx代入过P点曲线C的切线方程得,11211()22xxxyyx211121()422xxxxyx,124xxy第8页，共10页即两条切线的交点M的坐标为(122xx,122yy)设PQ中点为C,则C的坐标为(122xx,122yy),所以MC平行于y轴,所以2222121212121212()()424888xxyyxxxxxxxxMC设点M到直线PQ的距离为d,那么212()8xxdMC(当且仅当120xx时等号成立).又因为2PQ,所以221212()()2xxyy,即222121212()()()216xxxxxx,221212()()[1]216xxxx.所以212()4xx(当且仅当120xx时等号成立).因此12d,111122222PQMSPQd,所以PQM的面积的最大值为12.15．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知2,2E是抛物线2:2Cypx上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于,AB两点（不同于点E），直线,EAEB分别交直线2x于点,MN.（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O为原点，求证：MON为定值.【答案】解：（Ⅰ）将2,2E代入22ypx，得1p所以抛物线方程为22yx，焦点坐标为1(,0)2………………3分（Ⅱ）设211(,)2yAy，222(,)2yBy，(,),