高中人教A版数学必修4习题课三Word版含解析

习题课(三)一、选择题1．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同、终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB→＝DC→，则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有AB→＝DC→；⑤若m＝n，n＝k，则m＝k；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中不正确命题的个数为()A．2B．3C．4D．5答案：C解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同、终点相同，故①不正确；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确；③也不正确，因为A、B、C、D可能落在同一条直线上；零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中，若b＝0，则a与c就不一定平行了，因此⑥也不正确．2．已知|AB→|＝10，|AC→|＝7，则|BC→|的取值范围是()A．[3,17]B．(3,17)C．(3,10)D．[3,10]答案：A解析：利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及AB→与AC→共线时的情况求解．即|AB→|－|AC→|≤|BC→|≤|AC→|＋|AB→|，故3≤|BC→|≤17.3．对于非零向量a，b，下列说法不正确的是()A．若a＝b，则|a|＝|b|B．若a∥b，则a＝b或a＝－bC．若a⊥b，则a·b＝0D．a∥b与a，b共线是等价的答案：B解析：根据平面向量的概念和性质，可知a∥b只能保证a与b的方向相同或相反，但模长不确定，因此B错误．4．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5答案：A解析：将已知两式左右两边分别平方，得a2＋2a·b＋b2＝10a2－2a·b＋b2＝6，两式相减并除以4，可得a·b＝1.5．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于()A.5B.10C．25D．10答案：B解析：∵a⊥c，∴2x－4＝0，x＝2，又b∥c，∴2y＋4＝0，∴y＝－2，∴a＋b＝(x＋1,1＋y)＝(3，－1)．∴|a＋b|＝10.6．对于非零向量α，β，定义一种向量积：α°β＝α·ββ·β.已知非零向量a，b的夹角θ∈π4，π2，且a°b，b°a都在集合n2n∈N中，则a°b＝()A.52或32B.12或32C．1D.12答案：D解析：a°b＝a·bb·b＝|a|·|b|cosθ|b|2＝|a|cosθ|b|＝n2，n∈N①.同理可得b°a＝b·aa·a＝|a|·|b|cosθ|a|2＝|b|cosθ|a|＝m2，m∈N②.再由a与b的夹角θ∈π4，π2，可得cos2θ∈0，12，①②两式相乘得cos2θ＝mn4，m，n∈N，∴m＝n＝1，∴a°b＝n2＝12，选D.二、填空题7．若向量OA→＝(1，－3)，|OB→|＝|OA→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝________.答案：25解析：因为|AB→|2＝|OB→－OA→|2＝|OB→|2＋|OA→|2－2OA→·OB→＝10＋10－0＝20，所以|AB→|＝20＝25.8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，a＋b＝(3，1)，则向量a＋b与向量a－b的夹角是________．答案：2π3解析：因为|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2，所以|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2－|a＋b|2＝2＋6－4＝4，故|a－b|＝2，因此cos〈a－b，a＋b〉＝a－b·a＋b|a－b|·|a＋b|＝1－34＝－12，故所求夹角是2π3.9．设正三角形ABC的面积为2，边AB，AC的中点分别为D，E，M为线段DE上的动点，则MB→·MC→＋BC→2的最小值为________．答案：532解析：设正三角形ABC的边长为2a，因为正三角形ABC的面积为2，所以a2＝233.设MD＝x(0≤x≤a)，则ME＝a－x，MB→·MC→＋BC→2＝(MD→＋DB→)·(ME→＋EC→)＋BC→2＝MD→·ME→＋MD→·EC→＋DB→·ME→＋DB→·EC→＋BC→2＝－x(a－x)＋xacos120°＋(a－x)acos120°＋a2cos60°＋4a2＝x2－ax＋4a2，当x＝a2时，MB→·MC→＋BC→2取得最小值a22－a×a2＋4a2＝154a2＝532.三、解答题10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)求a·b及|a＋b|的值；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝－16，|a＋b|＝a＋b2＝a2＋b2＋2a·b＝43.(2)由题意，知(a＋2b)·(ka－b)＝ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7.11．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且OP→＝xOA→＋yOB→.(1)若AP→＝PB→，求x，y的值；(2)若AP→＝3PB→，|OA→|＝4，|OB→|＝2，且OA→与OB→的夹角为60°，求OP→·AB→的值．解：(1)若AP→＝PB→，则OP→＝12OA→＋12OB→，故x＝y＝12.(2)若AP→＝3PB→，则OP→＝14OA→＋34OB→，OP→·AB→＝14OA→＋34OB→·(OB→－OA→)＝－14OA→2－12OA→·OB→＋34OB→2＝－14×42－12×4×2×cos60°＋34×22＝－3.能力提升12．已知A(1,0)，B(5，－2)，C(8,4)，D(4,6)，那么四边形ABCD为()A．正方形B．菱形C．梯形D．矩形答案：D解析：AB→＝(4，－2)，BC→＝(3,6)．AB→·BC→＝4×3＋(－2)×6＝0，故AB→⊥BC→.又DC→＝(4，－2)，故AB→＝DC→.又|AB→|＝20＝25，|BC→|＝45＝35，故|AB→|≠|BC→|，所以，四边形ABCD为矩形．13．在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点．(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，求|OD→|的最小值．解：(1)由题意得AB→＝(t－4,2)，AC→＝(2，t)，BC→＝(6－t，t－2)，若∠A＝90°，则AB→·AC→＝0，即2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2；若∠B＝90°，则AB→·BC→＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，∴t＝6±22；若∠C＝90°，则AC→·BC→＝0，即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解，∴满足条件的t的值为2或6±22.(2)若四边形ABCD是平行四边形，则AD→＝BC→，设点D的坐标为(x，y)，即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，∴x＝10－ty＝t－2，即D(10－t，t－2)，∴|OD→|＝10－t2＋t－22＝2t2－24t＋104，∴当t＝6时，|OD→|取得最小值42.